均匀分布X~U[0,θ]求θ得置信水平为y的置信区间
时间: 2024-05-28 09:12:34 浏览: 12
根据样本均值和样本方差的性质,当样本容量n足够大时(n>=30),样本均值的分布可以近似看做正态分布,此时可以使用标准正态分布表进行计算。
具体步骤如下:
1. 计算样本均值x和样本标准差s。
2. 根据置信水平y和样本容量n,查找标准正态分布表得到对应的z分位数,记为z。
3. 计算置信区间的下限和上限:
下限:x - z * s / sqrt(n)
上限:x + z * s / sqrt(n)
其中,sqrt表示开方运算。
例如,当置信水平为0.95,样本容量为100,样本均值为50,样本标准差为10时,对应的z分位数为1.96。则置信区间的下限为50 - 1.96 * 10 / sqrt(100) = 47.04,上限为50 + 1.96 * 10 / sqrt(100) = 52.96。因此,95%的置信区间为[47.04, 52.96]。
相关问题
设X1,X2,···,Xn是来自总体X∼U[0,θ]的一个简单随机样本, 记Y=���{X1,X2,···,Xn}。证明: P � α 1 n<Y θ⩽1 � =1−α 并利用这个结论给出θ的1−α水平置信区间估计。
首先,我们可以将问题转化为求解Y的概率分布函数。由于样本来自总体X∼U[0,θ],所以每个样本的概率密度函数为f(x)=1/θ,其中0<=x<=θ。因为样本是简单随机样本,所以每个样本都是独立的,所以Y的概率密度函数为:
f(y)=n(1/θ)^n*y^(n-1)
要求P(α/2<Yθ<1-α/2),即求Yθ的置信区间。根据题意,我们需要找到两个常数L和U,使得P(Yθ>L)=α/2和P(Yθ<U)=1-α/2。
对于P(Yθ>L)=α/2,有:
∫L^θn(1/θ)^n*y^(n-1)dy=α/2
解得L=Y(1-α/2)。
同理,对于P(Yθ<U)=1-α/2,有:
∫θ^Un(1/θ)^n*y^(n-1)dy=α/2
解得U=Y(α/2)。
因此,θ的1-α水平置信区间为(Y(1-α/2), Y(α/2)),证毕。
设X1,X2,···,Xn是来自总体X∼U[0,θ]的一个简单随机样本, 记Y=max{X1,X2,···,Xn}。证明: P{α^(1/n)<Y/θ⩽1}=1−α 并利用这个结论给出θ的1−α水平置信区间估计。
首先,我们需要求出Y的概率密度函数。由于样本来自总体X∼U[0,θ],所以每个样本的概率密度函数为f(x)=1/θ,其中0<=x<=θ。因为Y=max{X1,X2,···,Xn},所以Y的概率密度函数为:
f(y) = n(1/θ)^n*y^(n-1)
接下来,我们需要求解P{α^(1/n)<Y/θ⩽1}。利用概率密度函数,我们可以得到:
P{α^(1/n)<Y/θ⩽1} = ∫(α^(1/n)*θ)^θn(1/θ)^n*y^(n-1)dy
对上式中的积分式进行变量代换,令t=y/θ,则:
P{α^(1/n)<Y/θ⩽1} = ∫α^(1/n)^1n(1/t)^nt^(n-1)dt
对上式进行积分,我们可以得到:
P{α^(1/n)<Y/θ⩽1} = 1 - α
因此,我们证明了P{α^(1/n)<Y/θ⩽1} = 1−α。接下来,我们需要给出θ的1-α水平置信区间估计。
根据题意,我们需要找到两个常数L和U,使得P(α/2<Y/θ<L)=α/2和P(Y/θ<U)=α/2。
根据前面的推导,P(α^(1/n)<Y/θ⩽1)=1−α,所以P(Y/θ<α^(1/n))=α/2,P(Y/θ>1)=α/2。
解得L=α^(1/n)和U=1,因此,θ的1-α水平置信区间为(α^(1/n), 1),证毕。
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