对根号下x的平方减一求积分
时间: 2023-10-09 07:13:16 浏览: 124
可以使用换元法,令 $x=\cosh t$,则 $\mathrm{d}x=\sinh t\,\mathrm{d}t$,同时根据 $\cosh^2t-\sinh^2t=1$,有 $\sqrt{x^2-1}=\sinh t$,于是
$$
\int \sqrt{x^2-1}\,\mathrm{d}x=\int \sinh^2t\,\mathrm{d}t=\int \frac{\cosh 2t-1}{2}\,\mathrm{d}t=\frac{1}{4}\sinh 2t-\frac{1}{2}t+C.
$$
最后把 $t$ 换成 $x$,得到
$$
\int \sqrt{x^2-1}\,\mathrm{d}x=\frac{1}{4}(x\sqrt{x^2-1}+2\ln|x+\sqrt{x^2-1}|)+C.
$$
相关问题
x的平方乘根号下1减x的平方的积分
要计算该积分,我们可以先将根号下的表达式进行化简。根据乘法公式,我们有:
根号下(1-x^2) = (1-x^2)^(1/2) = (1-x)(1+x)^(1/2)
因此,我们可以将积分表达式改写为:
∫x^2 * (1-x)(1+x)^(1/2) dx
接下来,我们可以使用分部积分法来计算该积分。分部积分公式为:
∫u v dx = u ∫v dx - ∫(u' ∫v dx) dx
选择 u = x^2 和 v = (1-x)(1+x)^(1/2),然后计算 u' 和 ∫v dx:
u' = 2x
∫v dx = (1/3)(1-x^2)^(3/2)
现在,我们可以将这些结果代入分部积分公式中:
∫x^2 * (1-x)(1+x)^(1/2) dx = x^2 * (1/3)(1-x^2)^(3/2) - ∫(2x * (1/3)(1-x^2)^(3/2)) dx
对于第二项,可以通过换元法来计算。令 u = 1-x^2,那么 du = -2xdx。将这些代入并进行简化:
- ∫(2x * (1/3)(1-x^2)^(3/2)) dx = -∫(1/3)u^(3/2) du
= -(1/3)(2/5)u^(5/2) + C
= -(2/15)(1-x^2)^(5/2) + C
将结果代回到原来的表达式中:
x^2 * (1/3)(1-x^2)^(3/2) - -(2/15)(1-x^2)^(5/2) + C
最后,我们得到了积分的结果:
(1/3)x^2(1-x^2)^(3/2) + (2/15)(1-x^2)^(5/2) + C
python如何对根号下1加f(x)导数的平方进行定积分
要对根号下1加f(x)导数的平方进行定积分,可以使用符号计算库SymPy来实现。具体的实现过程如下:
1. 首先,我们需要导入SymPy库,并定义符号变量:
```python
import sympy as sp
x = sp.symbols('x')
```
2. 接下来,我们可以定义被积函数:
```python
f = sp.sqrt(1 + sp.diff(f(x), x)**2)
```
其中,`sp.diff(f(x), x)`表示对函数`f(x)`求导。
3. 然后,我们可以使用`sp.integrate()`函数来进行定积分:
```python
integral = sp.integrate(f, (x, a, b))
```
其中,`a`和`b`分别表示积分区间的下限和上限。
最终,`integral`就是根号下1加f(x)导数的平方在区间`[a, b]`上的定积分。