已知正整数x，求1~x-1中，有多少与x互质的数。（互质是指两个数最大公约数为1）

假设x是一个正整数，要求1~x-1中与x互质的数的个数。

首先，我们需要知道什么是互质。两个数a和b互质，当且仅当它们的最大公约数为1。因此，我们需要找到1~x-1中与x的最大公约数为1的数的个数。

我们可以使用欧拉函数φ(x)来计算与x互质的数的个数。欧拉函数φ(x)定义为小于或等于x的正整数中与x互质的数的个数。因此，我们只需要计算φ(x)即可。

计算φ(x)的方法如下：

1. 将x分解质因数，得到x的质因数分解式：x = p1^a1 * p2^a2 * ... * pn^an。

2. 对于每个质因子pi，计算φ(pi^ai)。根据欧拉函数的定义，φ(pi^ai)等于小于或等于pi^ai的正整数中与pi^ai互质的数的个数。

3. 将所有的φ(pi^ai)相乘，得到φ(x)。

例如，假设x = 12，我们可以将其分解为12 = 2^2 * 3^1。然后，我们计算φ(2^2)和φ(3^1)：

φ(2^2) = 2^2 - 2^1 = 4 - 2 = 2
φ(3^1) = 3^1 - 3^ = 3 - 1 = 2

最后，我们将φ(2^2)和φ(3^1)相乘，得到φ(12) = 2 * 2 = 4。因此，1~11中与12互质的数的个数为4。

因此，对于任意正整数x，1~x-1中与x互质的数的个数为φ(x)。

相关问题

C++代码实现，给定n个正整数，将它们分组，使得每组中任意两个数互质。输入：第一行是一个正整数n。1 ≤ n ≤ 10。 第二行是n个不大于10000的正整数。输出：一个正整数，即最少需要的组数。

这个问题可以通过欧几里得算法来解决，寻找两数的最大公约数，如果最大公约数为1，则这两个数互质。我们可以使用哈希表（unordered_set）存储每个数字及其已知互质的数字集合，然后遍历整个数组，尝试把当前元素添加到每个已知互质集合中，检查是否可以形成互质的组合。若无法形成，则创建一个新的互质集合。最后返回互质集合的数量作为结果。

下面是一个简单的C++代码实现：

#include <iostream>
#include <vector>
#include <unordered_set>

using namespace std;

unordered_set<int> gcdSet(int n) {
    unordered_set<int> groups;
    vector<int> nums(n);
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        cin >> nums[i];
        bool added = true;
        for (auto &group : groups) {
            int gcd = __gcd(nums[i], group);
            if (gcd != 1) {
                added = false;
                break;
            }
        }
        if (added) {
            groups.insert(nums[i]);
        } else {
            groups.insert({nums[i]});
        }
    }
    return groups;
}

int main() {
    int n;
    cin >> n;
    int result = 0;
    for (const auto &group : gcdSet(n)) {
        result++;
    }
    cout << result << endl;
    return 0;
}

已知正整数 a0,a1,b0,b1,设某未知正整数 x 满足: 1. x 和 a0 的最大公约数是 a1 2. x 和 b0 的最小公倍数是 b1 求解满足条件的 x 的个数。请你帮助他编程求解这个问题。 对于 100%的数据,保证有 1≤a0,a1,

这道题可以用数学方法解决，具体步骤如下：

1. 首先根据条件1，我们可以得到 x = a1 * k1 + a0，其中 k1 为正整数。

2. 然后根据条件2，我们可以得到 b1 = lcm(x, b0) = lcm(a1 * k1 + a0, b0)，其中 lcm 表示最小公倍数。

3. 将 b1 化简为 p1^q1 * p2^q2 * ... * pk^qk 的形式，其中 pi 为质数，qi 为正整数。

4. 接下来我们需要求解 k1 的范围。由于 x 和 a0 的最大公约数是 a1，因此 k1 和 a0 / a1 互质。又因为 b0 和 a1 互质，因此 lcm(a1 * k1 + a0, b0) 和 b0 互质。

5. 对于每个 pi，我们分别考虑 k1 在模 pi^qi 意义下的取值范围。由于 a1 和 b0 互质，我们可以通过扩展欧几里得算法求出一个 t，使得 a1 * t ≡ 1 (mod pi^qi)，然后根据 k1 和 a0 / a1 互质的条件，我们可以得到 k1 ≡ t * (b0 / gcd(b0, a1)) * u (mod pi^qi)，其中 u 为模 pi^qi 意义下的任意整数。

6. 对于每个 pi，我们求出 k1 可能的取值数量 qi，然后将所有 pi 的 qi 相乘，就可以得到满足条件的 x 的个数。

下面是具体的实现代码：