cosxdx-sinydy=0
时间: 2024-04-29 15:20:16 浏览: 10
这是一个一阶齐次常微分方程,可以使用变量分离法求解。
将方程变形,得到:
cos(x)dx = sin(y)dy
将两边同时积分,得到:
∫cos(x)dx = ∫sin(y)dy
sin(x) = -cos(y) + C
其中C为常数。最后解出y,得到:
y = -arccos(sin(x) - C)
因此,该微分方程的通解为:
y(x) = -arccos(sin(x) - C),其中C为任意常数。
相关问题
微分方程cosxdx-sinydy=0
这是一个一阶非齐次线性微分方程,可以使用常数变易法来求解。首先将方程化为标准形式:
dy/dx = cos(x)/sin(y)
然后设y = u(x)v(x),代入原方程得到:
u(x)v'(x) - u'(x)v(x) = cos(x)/sin(y)
根据常数变易法的思想,我们令v(x) = exp(-∫(1/u(x))dx),则有:
v'(x) = -exp(-∫(1/u(x))dx)/u(x)
将其代入上式得到:
-d/dx(u(x)exp(-∫(1/u(x))dx)) = cos(x)/sin(y)
两边同时积分,得到:
exp(-∫(1/u(x))dx) = ∫[cos(x)/sin(y)]dx + C
其中C为常数。将v(x)的表达式代入上式,得到:
exp(-∫(1/u(x))dx) = ∫[cos(x)/sin(u(x)v(x))]dx + C
对右边的积分进行换元,令z = u(x)v(x),则有dz/dx = u'(x)v(x) + u(x)v'(x),代入得到:
exp(-∫(1/u(x))dx) = ∫[cos(x)/sin(z)](1/v(x))dz + C
再对右边的积分进行分部积分,得到:
exp(-∫(1/u(x))dx) = [-ln|cos(x) - sin(z)|/v(x)] + ∫[ln|cos(x) - sin(z)|/v(x)^2]dz + C
将v(x)的表达式代入,得到:
exp(-∫(1/u(x))dx) = [-exp(-∫(1/u(x))dx)ln|cos(x) - sin(y)|]/sin(y) + ∫[exp(-∫(1/u(x))dx)ln|cos(x) - sin(y)|/sin(y)^2]dy + C
化简后得到:
sin(y) = ±exp[∫(1/u(x))dx] / [C + exp[∫(1/u(x))dx]ln|cos(x) - sin(y)|]
这就是微分方程的通解。由于求解过程中引入了常数C和积分,需要根据给定的初始条件来确定具体的解。
求由函数p=/(x)=6x’+cosx,x=-2,x=3和y=0所围成的曲边梯形的面积,并画出它们的图形。
首先,我们需要确定 x=-2 和 x=3 的位置,以便画出曲边梯形的图形。我们可以将函数 p=/(x)=6x’ cosx 分别在 x=-2 和 x=3 的位置进行计算:
p=/(x=-2) = 6(-sin(-2)) = 6sin2 ≈ 0.14
p=/(x=3) = 6(-sin(3)) = -6sin3 ≈ -0.28
因此,x=-2 和 x=3 两点的位置可以如下图所示:
| . /
| . /
| . /
| . /
|/___________________
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接下来,我们可以将曲边梯形分成一个上三角形和一个下三角形,并分别计算它们的面积。上三角形的底边长度为 5,高度为 p=/(x=-2),因此上三角形的面积为:
A1 = 1/2 * 5 * 0.14 = 0.35
下三角形的底边长度为 5,高度为 p=/(x=3),因此下三角形的面积为:
A2 = 1/2 * 5 * (-0.28) = -0.7
最终,曲边梯形的面积为两个三角形面积之和:
A = A1 + A2 = 0.35 - 0.7 = -0.35
由于曲边梯形的面积为负数,因此我们可以确定这个图形是一个下凸的形状。曲边梯形的图形如下所示:
| . /
| . / A2 = -0.7
| . /
| . / A1 = 0.35
|___________________
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注意,由于函数 p=/(x) 是一个连续函数,因此我们可以使用微积分来计算曲边梯形的面积。具体来说,我们可以计算函数 p=/(x) 在区间 [-2, 3] 上的定积分:
∫p=/(x)dx = ∫6x’ cosxdx = 6sinx + C
将 x=-2 和 x=3 带入上式,得到:
A = 6sin3 - 6sin(-2) ≈ -0.35
这与我们通过分割曲边梯形计算得到的结果是一致的。