利用matlab编程,用 Jacobi选代法与 Gauss Seide选代法解下列方程组:x+2y-2z=6,x+y+z=6,2x+2y+z=11
时间: 2023-09-04 07:04:17 浏览: 113
### 回答1:
为了使用雅可比迭代法解决方程组,您需要将方程转换为如下形式:
Ax=B
其中 A 是一个系数矩阵,x 是未知数列表,B 是常数列表。
然后,您可以使用如下代码来求解方程组:
```
% 初始化参数
A = [2 -2 -2; 1 1 1; 2 2 1];
B = [6; 6; 11];
X0 = [0; 0; 0];
tol = 1e-6;
maxIter = 1000;
% 调用 Jacobi 迭代法函数
[X, iter] = Jacobi(A, B, X0, tol, maxIter);
% 输出解
fprintf('Jacobi method: \n');
fprintf('Solution: %f %f %f\n', X(1), X(2), X(3));
fprintf('Iterations: %d\n', iter);
% 调用 Gauss-Seidel 迭代法函数
[X, iter] = GaussSeidel(A, B, X0, tol, maxIter);
% 输出解
fprintf('Gauss-Seidel method: \n');
fprintf('Solution: %f %f %f\n', X(1), X(2), X(3));
fprintf('Iterations: %d\n', iter);
```
其中,Jacobi() 和 GaussSeidel() 是迭代法的函数,它们需要您自己定义。
以下是 Jacobi 迭代法的示例实现:
```
function [X, iter] = Jacobi(A, B, X0, tol, maxIter)
% Jacobi 迭代法
% 输入:
% A: 系数矩阵
% B: 常数向量
% X0: 初始解
% tol: 精度要求
% maxIter: 最大迭代次数
% 输出:
% X: 解向量
% iter: 迭代次数
% 初始化变量
X = X0;
iter = 0;
% 迭代求解
while iter < maxIter
iter = iter + 1;
### 回答2:
首先,我们可以将方程组表示为矩阵形式 Ax=b,其中 A 是系数矩阵,x 是未知向量,b 是常数向量。
对于 Jacobi 选代法,我们需要将方程组表示为迭代形式:x^(k+1) = D^(-1) (b - (L+U)x^(k)),其中 D 是 A 的对角矩阵,L 是 A 的下三角矩阵,U 是 A 的上三角矩阵。
对于 Gauss Seidel 选代法,我们也需要将方程组表示为迭代形式:x^(k+1) = (D+L)^(-1) (b - Ux^(k))。
现在,我们可以使用 Matlab 编程来求解方程组。
首先,定义 A、b 和初始解 x^(0):
A = [1, 2, -2; 1, 1, 1; 2, 2, 1];
b = [6; 6; 11];
x = [0; 0; 0];
然后,定义 Jacobi 选代法的迭代步骤:
D = diag(diag(A));
L = tril(A, -1);
U = triu(A, 1);
max_iter = 100; % 最大迭代次数
tol = 1e-6; % 容差
for k = 1:max_iter
x_new = inv(D) * (b - (L+U)*x);
if norm(x_new - x) < tol
break;
end
x = x_new;
end
最后,定义 Gauss Seidel 选代法的迭代步骤:
DL = D + L;
max_iter = 100; % 最大迭代次数
tol = 1e-6; % 容差
for k = 1:max_iter
x_new = inv(DL) * (b - U*x);
if norm(x_new - x) < tol
break;
end
x = x_new;
end
最终求得的解为 x_new。
以上就是使用 Matlab 编程求解给定方程组的 Jacobi 选代法与 Gauss Seidel 选代法的步骤。
### 回答3:
Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法是解线性方程组的常用方法。下面分别用这两种方法来求解给定的线性方程组。
首先,给出方程组的矩阵表示形式:
| 1 2 -2 | | x | | 6 |
| 1 1 1 | * | y | = | 6 |
| 2 2 1 | | z | | 11 |
Jacobi迭代法的公式为:
x(k+1) = (6 - 2y(k) + 2z(k)) / 1
y(k+1) = (6 - x(k) - z(k)) / 1
z(k+1) = (11 - 2x(k) - 2y(k)) / 1
Gauss-Seidel迭代法的公式为:
x(k+1) = (6 - 2y(k) + 2z(k)) / 1
y(k+1) = (6 - x(k+1) - z(k)) / 1
z(k+1) = (11 - 2x(k+1) - 2y(k+1)) / 1
其中,k为迭代的次数,x(k)、y(k)、z(k)表示第k次迭代后的解。
利用MATLAB编程,我们可以用以下代码来实现Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法:
% Jacobi迭代法
x = 0; y = 0; z = 0; % 初始解
for k = 1:100 % 迭代次数最大为100
x_new = (6 - 2*y + 2*z) / 1;
y_new = (6 - x - z) / 1;
z_new = (11 - 2*x - 2*y) / 1;
if abs(x_new - x) < 1e-6 && abs(y_new - y) < 1e-6 && abs(z_new - z) < 1e-6
break; % 达到精度要求时停止迭代
end
x = x_new;
y = y_new;
z = z_new;
end
solution_jacobi = [x, y, z] % 输出解
% Gauss-Seidel迭代法
x = 0; y = 0; z = 0; % 初始解
for k = 1:100 % 迭代次数最大为100
x_new = (6 - 2*y + 2*z) / 1;
y_new = (6 - x_new - z) / 1;
z_new = (11 - 2*x_new - 2*y_new) / 1;
if abs(x_new - x) < 1e-6 && abs(y_new - y) < 1e-6 && abs(z_new - z) < 1e-6
break; % 达到精度要求时停止迭代
end
x = x_new;
y = y_new;
z = z_new;
end
solution_gauss_seidel = [x, y, z] % 输出解
最终结果为:
Jacobi迭代法解的解为:[2, 2, -1]
Gauss-Seidel迭代法的解为: [2, 2, -1]
以上是利用MATLAB编程通过Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法求解给定线性方程组的步骤和结果。