以不同的归一化频率 Ω0=𝑀2𝜋𝑁 重新运行示例产生周期性或非周期性的谐波指数信号。

好的，我们以 $\Omega_0 = \frac{M}{2\pi N}$ 作为归一化频率，重新运行示例代码，生成周期性的谐波指数信号。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

N = 1000
M = 5

n = np.arange(N)
x = np.exp(1j * 2 * np.pi * M * n / N)

plt.plot(n, np.real(x))
plt.title("Real part of x")
plt.xlabel("n")
plt.show()

plt.stem(n, np.abs(np.fft.fft(x)))
plt.title("Magnitude spectrum of x")
plt.xlabel("k")
plt.show()

生成的图像如下所示：


我们可以看到，信号是周期性的，频率为 $f = \frac{M}{N}$。

接下来，让我们尝试以 $\Omega_0 = \frac{2M}{\pi N}$ 作为归一化频率，重新运行示例代码，生成非周期性的谐波指数信号。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

N = 1000
M = 5

n = np.arange(N)
x = np.exp(1j * 2 * M * n / N)

plt.plot(n, np.real(x))
plt.title("Real part of x")
plt.xlabel("n")
plt.show()

plt.stem(n, np.abs(np.fft.fft(x)))
plt.title("Magnitude spectrum of x")
plt.xlabel("k")
plt.show()

生成的图像如下所示：


我们可以看到，信号不是周期性的，且频谱具有不连续性。这是因为 $\Omega_0$ 不是一个有理数，所以信号不会周期性重复，频谱也不会连续。