嵌套循环 - 使用莱布尼茨公式计算圆周率

嵌套循环是一种循环结构，其中一个循环嵌套在另一个循环中。使用莱布尼茨公式计算圆周率需要嵌套循环来进行迭代计算。莱布尼茨公式是一个级数，可以用来计算圆周率的近似值。在嵌套循环中，我们可以使用两个变量来表示级数中的分子和分母，然后在内部循环中进行迭代计算，最终得到圆周率的近似值。

相关问题

7-1 使用莱布尼茨公式估算圆周率的值

莱布尼茨公式是一种计算圆周率π的无穷级数方法，由德国数学家格奥尔格·弗里德里希·伯恩哈德·莱布尼茨于17世纪提出。其表达式为：

\[ \pi = 4 \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{2k+1} \]

其中 \( \sum \) 表示求和符号，\( k \) 是正整数，每一项的分母都是 \( 2k+1 \)，分子是交替的 \( -1 \) 和 \( +1 \)。

为了估算圆周率的值，你需要取一定的项数来近似这个级数，每增加一项，精度就会提高一点。例如，如果你只取前几项，比如 \( n=10 \)，那么计算出的结果会比实际π的值粗糙；如果取更多的项数，如 \( n=1000 \) 或者更多，结果会更接近真实值。

下面是使用Python简单计算几个项的例子：

def leibniz_formula(n):
    pi_approximation = 4 * sum((-1)**k / (2*k + 1) for k in range(n))
    return pi_approximation

# 要计算圆周率的近似值，例如取50项
approximation_with_50_terms = leibniz_formula(50)

请注意，虽然莱布尼茨公式在理论上无限项会收敛到π，但在实际应用中，需要找到一个平衡点，以便得到足够精确但又不会过于耗时的结果。

用Python格雷戈里-莱布尼茨级数计算圆周率

可以使用以下代码来计算圆周率：

def leibniz_pi(n):
    pi = 0
    sign = 1
    for i in range(0, n):
        pi += sign / (2*i + 1)
        sign *= -1
    return pi * 4

n = 10000
print("圆周率的近似值是：", leibniz_pi(n))

该代码使用格雷戈里-莱布尼茨级数公式 $\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{2k+1}$ 来近似计算圆周率。其中，n 表示级数的项数，项数越多，近似结果越精确。