利用复化求积分公式的思想，尝试得到复化Gauss型求积公式（基于两个节点的Gauss型求积公式）

基于两个节点的Gauss型求积公式可以表示为：

$$\int_{-1}^1 f(x)dx \approx af(-\frac{1}{\sqrt{3}})+bf(\frac{1}{\sqrt{3}})$$

其中，$a$和$b$是常数，可以通过求解下列方程组得到：

$$\begin{cases} a+b=2 \\ a\cdot(-\frac{1}{\sqrt{3}})+b\cdot\frac{1}{\sqrt{3}}=0 \end{cases}$$

解得：

$$a=b=1$$

将基于两个节点的Gauss型求积公式应用于每个子区间，得到复化Gauss型求积公式：

$$\int_a^b f(x)dx\approx\frac{b-a}{2}\sum_{i=1}^n(f(\frac{x_i+x_{i-1}}{2}-\frac{b-a}{2\sqrt{3}})+f(\frac{x_i+x_{i-1}}{2}+\frac{b-a}{2\sqrt{3}}))$$

其中，$x_i$和$x_{i-1}$分别是第$i$个子区间的左右端点。

相关问题

利用复化求积公式的思想， 尝试得到复化 Gauss 型求积公式(基于两个节点的 Gauss 型求积公式)

复化 Gauss 型求积公式是利用 Gauss 型求积公式来计算复合区间上的积分近似值的方法，其中复合区间可以被分割成许多小区间，每个小区间内使用 Gauss 型求积公式来计算积分近似值，最后将所有小区间的积分近似值相加得到整个复合区间上的积分近似值。

基于两个节点的 Gauss 型求积公式，可以得到复合区间 $[a,b]$ 的复化 Gauss 型求积公式如下：

$$
\int_a^b f(x) dx \approx \frac{b-a}{2} \sum_{i=1}^n w_i f\left(\frac{b-a}{2}x_i + \frac{a+b}{2}\right)
$$

其中，$n$ 表示分割成的小区间数，$w_i$ 表示 Gauss 型求积公式中的权重，$x_i$ 表示 Gauss 型求积公式中的节点，具体的值可以通过查表或计算得到。

需要注意的是，当 $n=1$ 时，上式即为基于两个节点的 Gauss 型求积公式。

利用复化求积公式的思想， 尝试得到复化 Gauss 型求积公式(基于两个节点的 Gauss 型求积公式)python

以下是基于两个节点的 Gauss 型求积公式的 Python 代码实现：

import numpy as np

def composite_gauss(f, a, b, n):
    """
    计算复合区间 [a,b] 上的积分近似值，使用基于两个节点的 Gauss 型求积公式
    :param f: 被积函数
    :param a: 积分下限
    :param b: 积分上限
    :param n: 小区间数
    :return: 积分近似值
    """
    # 计算 Gauss 型求积公式中的节点和权重
    x = np.array([-np.sqrt(1/3), np.sqrt(1/3)])
    w = np.array([1, 1])

    # 计算每个小区间的起点和终点
    h = (b - a) / n
    x0 = np.linspace(a, b-h, n)
    x1 = np.linspace(a+h, b, n)

    # 计算每个小区间的积分近似值并相加
    result = 0
    for i in range(n):
        t = h/2 * (x1[i] - x0[i])
        s = h/2 * (x1[i] + x0[i])
        result += t * np.sum(w * f(s + t*x))

    return result

其中，`f` 表示被积函数，`a` 和 `b` 分别表示积分下限和上限，`n` 表示小区间数。函数中首先计算 Gauss 型求积公式中的节点和权重，然后计算每个小区间的起点和终点，并使用 Gauss 型求积公式计算每个小区间的积分近似值，最后将所有小区间的积分近似值相加得到整个复合区间上的积分近似值。