两点复化Gauss-Legendre
时间: 2023-06-30 11:19:11 浏览: 57
Gauss-Legendre积分是一种数值积分方法,它可以用于计算定积分的近似值。它的基本思想是将被积函数变换为一个特定的权函数下的积分,然后利用Legendre多项式的零点作为插值节点,再利用高斯插值公式求出积分的近似值。
而两点复化Gauss-Legendre积分是在Gauss-Legendre积分的基础上进行的一种改进,它是在区间上选择两个等距的节点,然后分别利用Gauss-Legendre积分公式进行积分,最后将两个积分结果相加得到定积分的近似值。
具体实现过程如下:
设被积函数为f(x),积分区间为[a,b],则
1.将积分区间变换为[-1,1]区间:
x = (b-a)t/2 + (a+b)/2
dx = (b-a)dt/2
2.权函数为1,因此积分公式为:
∫f(x)dx ≈ (b-a)/2 ∑wi*f(xi)
其中wi为权系数,xi为插值节点,具体值为:
w1 = w2 = 1
x1 = -1/sqrt(3), x2 = 1/sqrt(3)
3.将节点变换回积分区间[a,b],则积分近似值为:
∫f(x)dx ≈ (b-a)/2 * (f[(b-a)/2 * (-1/sqrt(3)) + (a+b)/2] + f[(b-a)/2 * (1/sqrt(3)) + (a+b)/2])
其中,(b-a)/2为区间长度的一半,(-1/sqrt(3))和(1/sqrt(3))是两个插值节点在[-1,1]区间的值。
相关问题
计算积分 利用两点复化Gauss-Legendre公式计算,其中区间[0, 1]依次分成个子区间;
好的,这是一个利用两点复化Gauss-Legendre公式计算积分的MATLAB程序:
```matlab
function [I] = gauss_legendre(f, n)
% f: 被积函数
% n: 子区间的个数
% 构造子区间
a = 0;
b = 1;
h = (b-a)/n;
% 两点Gauss-Legendre求积公式节点和权重
x = [-0.5773502692, 0.5773502692];
w = [1.0000000000, 1.0000000000];
% 计算积分值
I = 0;
for i = 1:n
t = (b-a)/2.*x + (a+b)/2 + (i-1)*h;
I = I + (b-a)/2.*h.*sum(w.*f(t));
end
end
```
其中,`f`是被积函数,`n`是子区间的个数。程序中首先构造出子区间,并在每个子区间上应用两点Gauss-Legendre求积公式进行计算,最后将各个子区间的积分值相加得到最终的积分值。两点Gauss-Legendre求积公式的节点和权重同样可以在参考文献中找到,这里直接给出了数值。
gauss-legendre求积分matlab
Gauss-Legendre求积分是一种数值积分方法,可以用MATLAB进行实现。具体步骤如下:
1. 定义被积函数f(x)和积分区间[a,b]。
2. 选择积分节点数n,计算Gauss-Legendre积分公式中的节点和权重。
3. 将积分区间[a,b]变换为[-1,1],并计算变换后的节点。
4. 将被积函数f(x)在变换后的节点上进行插值,得到插值函数。
5. 将插值函数和节点权重代入Gauss-Legendre积分公式,计算积分值。
MATLAB代码示例:
% 定义被积函数
f = @(x) exp(-x.^2);
% 定义积分区间
a = ;
b = 1;
% 选择积分节点数
n = 4;
% 计算Gauss-Legendre积分公式中的节点和权重
[x,w] = lgwt(n,-1,1);
% 将积分区间变换为[-1,1]
t = (b-a)/2;
u = (b+a)/2;
x = t*x + u;
% 将被积函数在变换后的节点上进行插值
p = polyfit(x,f(x),n-1);
g = @(x) polyval(p,x);
% 将插值函数和节点权重代入Gauss-Legendre积分公式,计算积分值
I = sum(w.*g(x))*t;
disp(I);
输出结果为.7468,即积分值。