求1+2/3+3/5+4/7+5/9......+100/199的和。
时间: 2023-05-30 21:04:50 浏览: 66
方法一:通分后相加
将每个分数通分为 $x/945$ 的形式,其中 $x$ 为分子,然后相加:
$$\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{3}\cdot\frac{4}{4}\cdots\frac{98}{98}\cdot\frac{99}{99}\cdot\frac{100}{100}\cdot\frac{945}{199}+\frac{2}{3}\cdot\frac{3}{3}\cdot\frac{4}{4}\cdots\frac{98}{98}\cdot\frac{99}{99}\cdot\frac{100}{100}\cdot\frac{945}{199}+\frac{3}{5}\cdot\frac{2}{2}\cdot\frac{4}{4}\cdots\frac{98}{98}\cdot\frac{99}{99}\cdot\frac{100}{100}\cdot\frac{945}{199}+\cdots+\frac{100}{199}\cdot\frac{2}{2}\cdot\frac{3}{3}\cdots\frac{98}{98}\cdot\frac{99}{99}\cdot\frac{945}{945}$$
将分子相加得到:
$$\frac{1\cdot3\cdot4\cdots98\cdot99\cdot100\cdot945}{2\cdot3\cdot4\cdots98\cdot99\cdot100\cdot199}+\frac{2\cdot3\cdot4\cdots98\cdot99\cdot100\cdot945}{2\cdot3\cdot4\cdots98\cdot99\cdot100\cdot199}+\frac{3\cdot2\cdot4\cdots98\cdot99\cdot100\cdot945}{5\cdot2\cdot4\cdots98\cdot99\cdot100\cdot199}+\cdots+\frac{100\cdot2\cdot3\cdots98\cdot99\cdot945}{199\cdot2\cdot3\cdots98\cdot99\cdot100\cdot945}$$
化简后得到:
$$\frac{945\cdot\sum\limits_{i=1}^{100}\frac{i}{199}}{199}=\frac{945\cdot\frac{1}{199}\cdot\frac{100\cdot101}{2}}{199}=\frac{945\cdot101\cdot50}{2\cdot199^2}=\boxed{\frac{47625}{398671}}$$
方法二:利用等差数列求和公式
将每个分数拆分为 $a/b - (a-1)/(b+2)$ 的形式,其中 $a$ 为分子,$b$ 为分母,然后将其相加得到:
$$\frac{1}{2}-\frac{1}{5}+\frac{2}{3}-\frac{2}{7}+\frac{3}{5}-\frac{3}{9}+\cdots+\frac{98}{97}-\frac{98}{101}+\frac{99}{99}-\frac{99}{103}+\frac{100}{199}$$
这是一个交替求和的式子,可以利用等差数列求和公式得到:
$$\begin{aligned} &\frac{1}{2}-\frac{1}{5}+\frac{2}{3}-\frac{2}{7}+\frac{3}{5}-\frac{3}{9}+\cdots+\frac{98}{97}-\frac{98}{101}+\frac{99}{99}-\frac{99}{103}+\frac{100}{199}\\ =&\left(\frac{1}{2}+\frac{2}{3}+\frac{3}{4}+\cdots+\frac{99}{100}\right)-\left(\frac{1}{5}+\frac{2}{7}+\frac{3}{9}+\cdots+\frac{98}{197}+\frac{99}{199}\right)+\frac{100}{199}\\ =&\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{100}-\frac{1}{5}-\frac{1}{7}-\frac{1}{9}-\cdots-\frac{1}{197}-\frac{1}{199}+\frac{100}{199}\\ =&\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{199}\right)-2\left(\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+\frac{1}{9}+\cdots+\frac{1}{197}+\frac{1}{199}\right)\\ =&\ln 199-\ln 2-2\left(\ln 5-\ln 199\right)\\ =&\boxed{\frac{47625}{398671}} \end{aligned}$$
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