某工厂按原设计要对一半球体的工件的半球面部分镀上一层稀有金属,,其方程 为x^2+y^2+z^2=1(z≥0),该厂按原设计的半球面面积2π备好电镀材料.当工件加工好后,对工件进行了测量,发现半球方程为 [x^2/(1+α)]+[y^2/(1+β)]+z^2=1 其中|α|,|β|是很小正数在测量了α和β后,工人师傅希望知道按原准备好的材料电镀后,镀层厚度在什么情况下比原设计的薄,在什么情况下比原设计的厚.

根据题意，原设计的半球面方程为$x^2+y^2+z^2=1 (z\geq 0)$，其半球面面积为$2\pi$。而实际测量得到的半球面方程为$\frac{x^2}{1+\alpha}+\frac{y^2}{1+\beta}+z^2=1$，其中$|\alpha|,|\beta|$是很小正数。

我们知道，单位半球面积上的体积元素为$dV=\sqrt{1+\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)^2}dxdy$。对于原设计的半球面方程$x^2+y^2+z^2=1 (z\geq 0)$，我们可以求出$\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{x}{z}$，$\frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{y}{z}$，因此

$$dV=\sqrt{1+\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)^2}dxdy=\sqrt{1+\frac{x^2}{z^2}+\frac{y^2}{z^2}}dxdy=\frac{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}{z}dxdy=\frac{1}{z}dxdy$$

所以原设计的半球面面积为$2\pi$时，其体积为

$$V=\int_{S}\frac{1}{z}dxdy=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{\sqrt{1-\cos^2\theta}}\sin\theta d\theta d\varphi=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sec\theta d\theta d\varphi=2\pi\ln(\sqrt{2}+1)$$

其中，$\theta$为$z$轴与法向量的夹角，$\varphi$为法向量在$xOy$平面上的投影与$x$轴正半轴的夹角。

对于实际测量得到的半球面方程$\frac{x^2}{1+\alpha}+\frac{y^2}{1+\beta}+z^2=1$，我们可以将其写成标准形式$\frac{x^2}{\left(\sqrt{1+\alpha}\right)^2}+\frac{y^2}{\left(\sqrt{1+\beta}\right)^2}+\frac{z^2}{1^2}=1$，然后求出其单位半球面积上的体积元素。我们有

$$dV=\frac{1}{z}dxdy=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{x^2}{\left(\sqrt{1+\alpha}\right)^2}-\frac{y^2}{\left(\sqrt{1+\beta}\right)^2}}}dxdy=\frac{\sqrt{\left(\sqrt{1+\alpha}\right)^2x^2+\left(\sqrt{1+\beta}\right)^2y^2+z^2}}{z}dxdy=\frac{1}{z}\sqrt{1+\alpha x^2+\beta y^2}dxdy$$

因此，实际测量得到的半球面的体积为

$$V'=\int_{S'}\frac{1}{z}\sqrt{1+\alpha x^2+\beta y^2}dxdy$$

其中，$S'$为实际测量得到的半球面。

现在我们需要确定在什么情况下，$V'>V$，在什么情况下，$V'<V$。

由于$\alpha$和$\beta$是很小的正数，可以忽略它们对积分结果的影响。因此，我们可以近似认为

$$V'=\int_{S'}\frac{1}{z}\sqrt{1+\alpha x^2+\beta y^2}dxdy\approx\int_{S'}\frac{1}{z}dxdy=V$$

即，在所有情况下，实际测量得到的半球面的体积与原设计的半球面的体积是相等的，即$V'=V$。因此，在任何情况下，镀层的厚度都与原设计相等。