将函数 f ( z )=22( z - i ) 分别在圆环域0<| z /<1 与 1<| z - i <+∞ 内展成洛朗级数.

### 回答1：
在圆环域 $0<|z|<1$ 中，$f(z)=22\frac{z-i}{z}=-22i+22\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{i}{z}\right)^{n+1}$，展开成洛朗级数为：$$f(z)=-22i+22\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{i}{z}\right)^{n+1}=-22i+\frac{22i}{z}+\frac{-22}{z^2}-\frac{22i}{z^3}-\frac{22}{z^4}-\cdots$$

在圆环域 $1<|z-i|<\infty$ 中，令 $w=z-i$，则 $f(z)=22\frac{w}{w+i}=-22i+22\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{-i}{w+i}\right)^{n+1}$，展开成洛朗级数为：$$f(z)=-22i+22\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{-i}{w+i}\right)^{n+1}=-22i-\frac{22}{w+i}-\frac{22i}{(w+i)^2}-\frac{22}{(w+i)^3}-\cdots$$

将 $w=z-i$ 代回，得到：$$f(z)=-22i-\frac{22}{z-i}-\frac{22i}{(z-i)^2}-\frac{22}{(z-i)^3}-\cdots$$

因此，$f(z)$ 在圆环域 $0<|z|<1$ 和 $1<|z-i|<\infty$ 内的洛朗级数分别为：$$f(z)=-22i+\frac{22i}{z}+\frac{-22}{z^2}-\frac{22i}{z^3}-\frac{22}{z^4}-\cdots$$ 和 $$f(z)=-22i-\frac{22}{z-i}-\frac{22i}{(z-i)^2}-\frac{22}{(z-i)^3}-\cdots$$

### 回答2：
在圆环域0<|z|<1内展开洛朗级数时，可以使用公式：

f(z) = ∑ (c_n * (z - a)^n)

其中，c_n为洛朗级数的系数，a为展开点，n为整数。

根据函数f(z) = 22(z - i)，我们可以先将其进行变形：

f(z) = 22z - 22i

展开到洛朗级数的形式：

f(z) = ∑ (c_n * (z - a)^n)

根据洛朗级数的计算公式，将展开点a取为0，得到：

f(z) = ∑ (c_n * z^n)

将f(z) = 22z - 22i代入上式，得到：

22z - 22i = ∑ (c_n * z^n)

对比两边的对应项系数，可以得到：

c_1 = 22
c_n = 0 (n ≠ 1)

所以在圆环域0<|z|<1内，函数f(z)的洛朗级数展开式为：

f(z) = 22z

在另一个圆环域1<|z - i|<∞内展开洛朗级数时，同样使用公式：

f(z) = ∑ (c_n * (z - a)^n)

根据函数f(z) = 22(z - i)，和展开点a取为i，得到：

f(z) = ∑ (c_n * (z - i)^n)

将f(z) = 22(z - i)代入上式，得到：

22(z - i) = ∑ (c_n * (z - i)^n)

对比两边的对应项系数，可以得到：

c_1 = -22i
c_2 = 0
c_n = 0 (n ≠ 1, 2)

所以在圆环域1<|z - i|<∞内，函数f(z)的洛朗级数展开式为：

f(z) = -22i(z - i)

### 回答3：
将函数$f(z) = 2/ (z - i)$ 分别在圆环域 $0<|z|<1$ 与 $1<|z - i|<∞$ 内展成洛朗级数。

在圆环域 $0<|z|<1$ 内，我们可以将函数 $f(z)$ 展开成洛朗级数的形式。
根据洛朗级数的定义，我们可知洛朗级数的通项公式为：

\[a_n = \frac{1}{2\pi i} \oint_C \frac{f(z)}{(z - z_0)^{n+1}} dz\]

其中 $C$ 代表一个包围着 $z_0$ 的简单闭合曲线。对于圆环域 $0<|z|<1$ 内，我们可以选择取以原点为中心、半径为 $1/2$ 的圆 C。上述公式中的 $n$ 代表展开式的指数。

利用上述公式，我们可以计算出展开式的每一项，并将其相加得到洛朗级数的形式。由于题目中的函数 $f(z)$ 的分母为 $z - i$，因此我们要将 $f(z)$ 展开成带有 $(z - i)$ 的幂的形式。

在 $0<|z|<1$ 的圆环域内，我们可以得到洛朗级数的展开式为：

\[f(z) = -2i\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{z}{i}\right)^n\]

在 $1<|z - i|<∞$ 的圆环域内，我们可以得到洛朗级数的展开式为：

\[f(z) = 2i\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{z - i}{i}\right)^{-n}\]

需要注意的是，这里的洛朗级数展开式只包含了 $n>0$ 的项，因为对于 $n<0$ 的项，它们会在原点或者极点处发散。而对于 $n=0$ 的项，根据洛朗级数的定义，我们可以将其写成：

\[a_0 = \frac{1}{2\pi i} \oint_C f(z) dz\]

根据题目中的函数 $f(z)$，我们可以计算出该积分的结果，并将其作为洛朗级数展开式的 $n=0$ 项。