将函数 f ( z )=22( z - i ) 分别在圆环域0<| z /<1 与 1<| z - i <+∞ 内展成洛朗级数．

### 回答1：
首先，我们看一下 $f(z) = 22(z-i)$ 在 $z=i$ 处的泰勒展开式：

$$f(z) = 22(z-i) = -22i + 22(z-i)$$

将 $w=z-i$，得到：

$$f(w+i) = -22i + 22w$$

现在，我们可以将 $f(z)$ 在圆环域 $0<|z|<1$ 中展开成洛朗级数。为此，我们需要找到 $f(z)$ 的极点和留数。

$f(z)$ 仅有一个简单极点 $z=i$，它在圆环 $0<|z|<1$ 的内部。因此，我们可以将 $f(z)$ 展开为：

$$f(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n (z-i)^n$$

其中，

$$c_n = \frac{1}{2\pi i} \oint_C \frac{f(z)}{(z-i)^{n+1}} dz$$

$C$ 是一个以 $z=i$ 为圆心、以 $r$ 为半径的圆周，其中 $0<r<1$。因为 $f(z)$ 在 $z=i$ 处的留数是 $22$，所以：

$$c_n = \begin{cases} 22, & n=1 \\ 0, & \text{otherwise} \end{cases}$$

因此，

$$f(z) = 22(z-i) + 0 + 0 + \cdots = 22(z-i)$$

接下来，我们将 $f(z)$ 在圆环 $1<|z-i|<\infty$ 中展开成洛朗级数。为此，我们需要找到 $f(z)$ 的极点和留数。

$f(z)$ 仅有一个简单极点 $z=i$，它在圆环 $1<|z-i|<\infty$ 的外部。因此，我们可以将 $f(z)$ 展开为：

$$f(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n (z-i)^n$$

其中，

$$c_n = \frac{1}{2\pi i} \oint_C \frac{f(z)}{(z-i)^{n+1}} dz$$

$C$ 是一个以 $z=i$ 为圆心、以 $r$ 为半径的圆周，其中 $r>1$。因为 $f(z)$ 在 $z=i$ 处的留数是 $22$，所以：

$$c_n = \begin{cases} 22, & n=1 \\ 0, & \text{otherwise} \end{cases}$$

因此，

$$f(z) = 22(z-i) + 0 + 0 + \cdots = 22(z-i)$$

综上所述，$f(z) = 22(z-i)$ 在圆环域 $0<|z|<1$ 和 $1<|z-i|<\infty$ 内展开成洛朗级数分别为 $22(z-i)$。

### 回答2：
要将函数f(z)=22(z-i)在圆环域0<|z|<1展成洛朗级数，我们需要找到函数f(z)在该圆环域内的奇点和主要部分。

首先观察函数f(z)，可以发现它在z=i处有一个一阶极点。因此，我们需要将f(z)展开成以下形式的级数：

f(z) = ∑[residue(z=i) / (z-i)] + 主要部分。

计算残数(residue)：
根据极限定义，我们有residue(z=i) = lim[z→i]((z-i)f(z)) = lim[z→i](22(z-i)) = 22.

因此，在圆环域0<|z|<1内，f(z)的洛朗级数展开为：
f(z) = 22/(z-i) + 主要部分。

接下来我们将函数f(z)在圆环域1<|z-i|<∞内展成洛朗级数。

观察可知，在该圆环域中，函数f(z)没有奇点。因此，f(z)的洛朗级数展开只有主要部分，即：
f(z) = 22(z-i)。

总结起来，将函数f(z)=22(z-i)分别在圆环域0<|z|<1与1<|z-i|<∞内展成洛朗级数的结果分别为：

在0<|z|<1内：f(z) = 22/(z-i) + 主要部分。

在1<|z-i|<∞内：f(z) = 22(z-i)。

### 回答3：
要将函数f(z)=22(z-i)在圆环域0<|z|<1和1<|z-i|<∞内展开成洛朗级数，我们需要找到函数在展开点处的留数。然后，利用洛朗级数的定义，根据幂级数展开的原理进行展开。

首先考虑圆环域0<|z|<1。在这个区域内，函数f(z)的展开点为z=0。我们可以对函数f(z)在z=0附近做幂级数展开。由于这里是圆环域，我们可以采用洛朗级数展开的形式。计算留数时，我们将函数f(z)化为最简形式f(z)=22*z-22i。

由于z=0是该函数f(z)的简单极点，它的留数为a-1=22。那么根据洛朗级数的定义，我们可以得到在圆环域0<|z|<1内的展开系数如下：

f(z) = 22*(z-i) = 22z-22i

由于这里只有一个留数，展开式的主要部分只有一个项，即22z。

接下来考虑1<|z-i|<∞的区域。在这个区域内，函数f(z)的展开点为z=i。同样地，我们可以对函数f(z)在z=i附近做洛朗级数展开。计算留数时，我们将函数f(z)化为最简形式f(z)=22*(z-i)。

由于z=i是该函数f(z)的简单极点，它的留数为a-1=22。那么根据洛朗级数的定义，我们可以得到在1<|z-i|<∞内的展开系数如下：

f(z) = 22*(z-i) = 22z-22i

由于这里只有一个留数，展开式的主要部分只有一个项，即22z。

综上所述，在圆环域0<|z|<1和1<|z-i|<∞内，函数f(z)=22*(z-i)的洛朗级数展开形式均为22z-22i。