给定n种物品和一个背包。物品i的重量是Wi,其价值为Vi,背包的容量为C。应如何选择装入背包的物品,使得装入背包中物品的总价值最大?与0-1背包问题类似,所不同的是在选择物品i装入背包时,可以选择物品i的一部分( 0≤xi ≤1) ,而不一定要全部装入背包,1≤i≤n。C程序代码
时间: 2023-10-03 20:02:41 浏览: 39
以下是基于动态规划的解法,时间复杂度为O(nC),其中n为物品数量,C为背包容量。
```c
#include <stdio.h>
#define MAX_N 1000
#define MAX_C 1000
int N, C;
int w[MAX_N+1], v[MAX_N+1];
double f[MAX_N+1][MAX_C+1];
double max(double a, double b) {
return a > b ? a : b;
}
int main() {
scanf("%d%d", &N, &C);
for (int i = 1; i <= N; i++) {
scanf("%d%d", &w[i], &v[i]);
}
for (int i = 1; i <= N; i++) {
for (int j = 0; j <= C; j++) {
if (j < w[i]) {
f[i][j] = f[i-1][j];
} else {
f[i][j] = max(f[i-1][j], f[i-1][j-w[i]] + v[i]*1.0/w[i]);
}
}
}
printf("%.2f", f[N][C]);
return 0;
}
```
其中f[i][j]表示将前i个物品装入容量为j的背包中所能获得的最大价值。对于第i个物品,我们可以选择只装入一部分(0 ≤ xi ≤ 1),从而得到一个更好的解。因此,我们使用一个小数xi表示第i个物品装入的比例,0 ≤ xi ≤ 1。显然,xiwi表示第i个物品实际装入的重量,而vixiwi表示第i个物品实际装入的价值。因此,我们的目标是求出一组x1, x2, ..., xn,使得∑xiwi ≤ C,且∑vixiwi最大。
我们可以将这个问题转化成一个01背包问题,即每个物品只能选择装入或不装入。假设我们将第i个物品装入了背包,那么我们可以计算出此时的最大价值f[i-1][j-wi] + vixiwi/wi。注意到此时的背包容量为j-wi,因为我们已经将第i个物品装入了xiwi的重量。如果我们不将第i个物品装入背包中,则此时的最大价值为f[i-1][j]。因此,我们可以使用动态规划求解这个问题,状态转移方程为:
f[i][j] = max(f[i-1][j], f[i-1][j-w[i]] + v[i]*1.0/w[i])
其中v[i]*1.0/w[i]表示第i个物品的单位价值。最终的答案为f[N][C],即将前N个物品装入容量为C的背包中所能获得的最大价值。
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