求满足下列条件的动点的轨迹方程，它们分别表示什么曲面，并写出解题过程？ 动点到 y 轴的距离等于它到 xOx 面距离的2倍．

根据题意，我们可以设动点的坐标为 (x, y, z)，则动点到 y 轴的距离为 |x|，到 xOx 面的距离为 |z|。由于题目中要求动点到 y 轴的距离等于它到 xOx 面距离的2倍，因此有：

|x| = 2|z|

又因为动点在曲面上移动，所以曲面上的点必须满足上述条件。因此，我们可以将 x 和 z 表示为关于 y 的函数，即：

x = 2y
z = y

将上述式子代入到曲面的方程中，得到：

4y^2 + y^2 = 5y^2

化简可得：

5y^2 = 1

因此，曲面的方程为：

4x^2 + y^2 + 4z^2 = 1

这是一个椭球面，中心位于原点，长轴和短轴分别为 1/2 和 1/√5。

解题过程：

1. 根据题意，设动点的坐标为 (x, y, z)。

2. 根据动点到 y 轴和 xOx 面的距离，得到 |x| = 2|z|。

3. 将 x 和 z 表示为关于 y 的函数，即 x = 2y，z = y。

4. 将 x 和 z 的表达式代入到曲面的方程中，得到 4x^2 + y^2 + 4z^2 = 1。

5. 化简得到曲面的方程为 4y^2 + y^2 = 5y^2，即 4x^2 + y^2 + 4z^2 = 1。

6. 得到曲面为椭球面，中心位于原点，长轴和短轴分别为 1/2 和 1/√5。

相关问题

求到点（5，4，0）和点（-4，3，4）的距离之比为2:1的点的轨迹方程，并指出它表示什么曲面

### 回答1：
这是一个数学问题，可以回答。根据向量的知识，可以求出两点之间的距离为13。因此，距离第一个点5:4:0的点为(2, 1.6, 0)，距离第二个点-4:3:4的点为(-2.67, 2, 2.67)。根据这两个点和距离之比，可以求出中点为(0.67, 1.8, 1.78)。因此，轨迹方程为(x-0.67)^2 + (y-1.8)^2 + (z-1.78)^2 = 56.44，表示一个球面。

### 回答2：
首先，求出两点之间的距离，可以应用三维空间的距离公式：

d = sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2)

根据题目要求，假设该点的坐标为（x，y，z）。根据两点之间的距离之比为2:1，可以设定比例系数为k，则两个点之间的距离可以表示为：

sqrt((x - 5)^2 + (y - 4)^2 + z^2) = 2k

sqrt((x + 4)^2 + (y - 3)^2 + (z - 4)^2) = k

将以上两个方程进行整理，得到：

(x - 5)^2 + (y - 4)^2 + z^2 = 4k^2

(x + 4)^2 + (y - 3)^2 + (z - 4)^2 = k^2

接下来可以进行进一步的整理和代数运算，消去变量k，得到：

4((x - 5)^2 + (y - 4)^2 + z^2) = (x + 4)^2 + (y - 3)^2 + (z - 4)^2

简化得到：

3x^2 + y^2 + z^2 - 22x - 2y + 31z - 56 = 0

这个方程表示一个曲面，给出了距离之比为2:1的点的轨迹。根据求解方程可得，该曲面为一个椭球。

### 回答3：
设比例为2:1的点为P(x,y,z)。

根据点到点距离的公式，点P到点（5，4，0）的距离为√[(x-5)^2+(y-4)^2+z^2]，到点（-4，3，4）的距离为√[(x+4)^2+(y-3)^2+(z-4)^2]。

根据问题，这两个距离之比为2:1，即：

√[(x-5)^2+(y-4)^2+z^2] / √[(x+4)^2+(y-3)^2+(z-4)^2] = 2/1

为方便计算，可以将方程两边同时平方，得到：

[(x-5)^2+(y-4)^2+z^2] / [(x+4)^2+(y-3)^2+(z-4)^2] = 4/1

进一步化简，得到：

(x-5)^2+(y-4)^2+z^2 = 4[(x+4)^2+(y-3)^2+(z-4)^2]

展开化简后，得到：

x^2 + y^2 + z^2 - 14x - 4y - 12z + 17 = 0

这就是点P的轨迹方程，表示一个球面。

答案：该点的轨迹方程为x^2 + y^2 + z^2 - 14x - 4y - 12z + 17 = 0，表示一个球面。

在直角坐标系中，点P到x轴的距离等于点P到点的距离，记动点P的轨迹为W (1)求W的方程; (2)已知矩形有三个顶点在W上，证明:矩形的周长大于

(1)设点P的坐标为(x, y)，则点P到x轴的距离为|y|，点P到点(0,1)的距离为$\sqrt{x^2+(y-1)^2}$，所以有：

|y| = $\sqrt{x^2+(y-1)^2}$

化简得：

y^2 - 2y + x^2 - 1 = 0

为了方便后面的证明，我们将上式改写为：

y^2 - 2y + 1 + x^2 - 2 = 0

(y-1)^2 + x^2 = 2

所以动点P的轨迹方程为：(y-1)^2 + x^2 = 2

(2)设矩形的四个顶点分别为A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3), D(x4, y4)，且三个顶点在W上，则有：

(y1-1)^2 + x1^2 = 2

(y2-1)^2 + x2^2 = 2

(y3-1)^2 + x3^2 = 2

不妨设x1 < x2 < x3，根据题意可知矩形的底边在x轴上，所以y1=y4=0，y2=y3=h，其中h为矩形的高。

设矩形的周长为C，则有：

C = 2(x2-x1+h) + 2(x3-x2+h) = 2(x3-x1+2h)

我们只需证明x3-x1 > $\sqrt{2}$ 即可证明C > 2$\sqrt{2}$。

因为三个顶点在W上，所以有：

(y3-1)^2 + x3^2 = (y2-1)^2 + x2^2 = (y1-1)^2 + x1^2 = 2

所以：

(x3-x1)^2 + (y3-y1)^2 = 2(x2-x1)^2

又因为矩形的高度为h，所以：

(y3-y1) = h

代入上式，得：

(x3-x1)^2 + h^2 = 2(x2-x1)^2

所以：

2(x3-x1)^2 = 2(x2-x1)^2 + h^2 > 2(x2-x1)^2

因为x2 > x1，所以有：

2(x3-x1)^2 > 4(x2-x1)^2

即：

x3-x1 > \sqrt{2}(x2-x1)

所以：

x3-x1 > $\sqrt{2}$

因此，矩形的周长C > 2$\sqrt{2}$。