已知控制系统的开环传递函数G(S)=k/[s(1+0.1s)(1+0.25s)],要求闭环系统的特征根全部位于Res=-1垂线左侧，确定k值范围

首先，对于一个控制系统，其闭环特征方程可以表示为：

1 + G(s)H(s) = 0

其中，G(s)为系统的开环传递函数，H(s)为系统的闭环传递函数。

为了让闭环系统的特征根全部位于Res=-1垂线左侧，我们需要在H(s)中引入一个负反馈回路，即令：

H(s) = 1 / (1 + G(s))

这样，闭环特征方程就变为：

1 + G(s) / (1 + G(s)) = 0

化简得：

G(s) = -1

代入G(s)的表达式中，得到：

-k / [(s+0.1)(s+0.25)] = -1

化简得：

k = (s+0.1)(s+0.25)

我们需要确定k的取值范围，使得上式成立。

首先，我们可以观察k的表达式，发现它是一个二次函数，开口向上，且在s=-0.175处取得最小值。因此，k的最小值为：

k_min = (-0.175+0.1)(-0.175+0.25) = 0.015

另外，我们可以观察传递函数的极点位置，发现它们都是实数，且都位于负实轴左侧。因此，我们要求k的取值范围，使得传递函数的极点位置不发生变化，即不会出现共轭复极点或者极点移动到右半平面的情况。

根据极点的位置，我们可以得到以下不等式：

0.1 > -1/2Re(p) > 1 (1)

0.25 > -1/2Re(q) > 1 (2)

其中，p和q分别为传递函数的两个极点。

将传递函数的极点代入上述不等式中，得到：

0.1 > 0.175 > 1 (3)

0.25 > 0.325 > 1 (4)

因此，k的取值范围为：

0.015 < k < 0.05625

综上所述，k的取值范围为0.015 ~ 0.05625。