动态规划石子合并子问题如何构造最优解
时间: 2023-07-08 12:35:48 浏览: 57
动态规划石子合并子问题的最优解可以通过以下步骤构造:
1. 首先,我们需要使用一个二维数组dp来存储子问题的最优解,其中dp[i][j]表示将第i个石子到第j个石子合并成一堆的最小代价。
2. 对于每个子问题dp[i][j],我们可以枚举它的所有可能的划分点k,即i ≤ k < j,将其拆分成两个子问题dp[i][k]和dp[k+1][j]。
3. 对于每个划分点k,我们可以计算将dp[i][k]和dp[k+1][j]合并成一堆的代价,即sum(i,k)+sum(k+1,j),其中sum(i,k)表示第i个石子到第k个石子的重量之和,sum(k+1,j)表示第k+1个石子到第j个石子的重量之和。
4. 在枚举所有划分点k的过程中,我们需要记录下最小的代价,即min{dp[i][k]+dp[k+1][j]+sum(i,k)+sum(k+1,j)},并将其赋值给dp[i][j]。
5. 最终,dp[1][n]即为将所有石子合并成一堆的最小代价。要构造最优解,我们可以通过回溯的方式,从dp[1][n]开始逆推回去,找到每个划分点k,并将石子序列拆分成两个子序列,直到拆分成单个石子为止。
相关问题
动态规划石子合并子问题计算最优值
石子合并问题是一个经典的动态规划问题,可以使用DP来解决。假设有一个长度为n的数组a,表示有n堆石子,第i堆石子有a[i]个。现在要将这n堆石子合并成一堆石子,每次只能合并相邻的两堆石子,合并两堆石子的代价为这两堆石子的石子数之和。求将n堆石子合并成一堆石子的最小代价。
我们可以定义一个二维数组dp,其中dp[i][j]表示合并第i堆到第j堆石子的最小代价。显然,当i=j时,dp[i][j]=0,因为只有一堆石子,无需合并。当i<j时,dp[i][j]的值可以通过以下递推公式计算:
dp[i][j]=min(dp[i][k]+dp[k+1][j]+sum(a[i...j])), i<=k<j
其中sum(a[i...j])表示第i堆到第j堆石子的石子数之和。
根据这个递推公式,我们可以使用二重循环来计算dp数组的值。具体地,外层循环枚举子问题的规模,从小到大依次计算dp[i][j],内层循环枚举子问题的起点k,计算dp[i][j]的值。
下面是一个简单的Python代码实现:
```python
def merge_stones(n, a):
dp = [[0] * n for _ in range(n)]
for k in range(2, n+1):
for i in range(n-k+1):
j = i + k - 1
dp[i][j] = float('inf')
for m in range(i, j):
dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i][m] + dp[m+1][j] + sum(a[i:j+1]))
return dp[0][n-1]
```
这个算法的时间复杂度为O(n^3),空间复杂度为O(n^2),可以通过此方法计算石子合并子问题的最优值。
动态规划石子合并子问题计算最优值打表
石子合并是一类典型的动态规划问题,可以使用DP来解决。下面是一个简单的打表计算石子合并子问题的最优值的例子。
假设有一个长度为n的数组a,表示有n堆石子,第i堆石子有a[i]个。现在要将这n堆石子合并成一堆石子,每次只能合并相邻的两堆石子,合并两堆石子的代价为这两堆石子的石子数之和。求将n堆石子合并成一堆石子的最小代价。
我们可以定义一个二维数组dp,其中dp[i][j]表示合并第i堆到第j堆石子的最小代价。显然,当i=j时,dp[i][j]=0,因为只有一堆石子,无需合并。当i<j时,dp[i][j]的值可以通过以下递推公式计算:
dp[i][j]=min(dp[i][k]+dp[k+1][j]+sum(a[i...j])), i<=k<j
其中sum(a[i...j])表示第i堆到第j堆石子的石子数之和。
根据这个递推公式,我们可以使用二重循环来计算dp数组的值。具体地,外层循环枚举子问题的规模,从小到大依次计算dp[i][j],内层循环枚举子问题的起点k,计算dp[i][j]的值。
下面是一个简单的Python代码实现:
```python
def merge_stones(n, a):
dp = [[0] * n for _ in range(n)]
for k in range(2, n+1):
for i in range(n-k+1):
j = i + k - 1
dp[i][j] = float('inf')
for m in range(i, j):
dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i][m] + dp[m+1][j] + sum(a[i:j+1]))
return dp[0][n-1]
```
这个算法的时间复杂度为O(n^3),空间复杂度为O(n^2),可以通过此方法计算石子合并子问题的最优值。
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