已知三个数列有大小关系a(n)<=b(n)<=c(n),且c(n)<=0,∑a(n)收敛,则 ∑b(n),∑c(n)是否收敛
时间: 2023-12-21 07:03:44 浏览: 34
因为c(n) <= 0,所以∑c(n)必然收敛或者为负无穷。因为a(n) <= b(n) <= c(n),所以∑a(n) <= ∑b(n) <= ∑c(n)。由于∑a(n)收敛,所以∑b(n)也收敛。如果∑c(n)为负无穷,则∑b(n)和∑c(n)都为负无穷。因此,无论如何,只要已知a(n) <= b(n) <= c(n),且c(n) <= 0,且∑a(n)收敛,那么∑b(n)和∑c(n)都收敛或者为负无穷。
相关问题
已知三个数列有大小关系a(n)<=b(n)<=c(n),则其∑a(n),∑b(n),∑c(n)之间的收敛关系有哪些
已知三个数列有大小关系a(n)<=b(n)<=c(n),则它们的收敛关系如下:
1. 如果∑c(n)收敛,则∑b(n)和∑a(n)也收敛。
2. 如果∑a(n)发散,则∑b(n)和∑c(n)也发散。
3. 如果∑a(n)收敛且∑c(n)发散,则∑b(n)也发散。
4. 如果∑a(n)发散且∑c(n)收敛,则∑b(n)收敛。
证明如下:
1. 因为a(n)<=b(n)<=c(n),所以∑a(n)<=∑b(n)<=∑c(n)。由于∑c(n)收敛,所以根据比较原理,∑b(n)和∑a(n)也收敛。
2. 因为a(n)<=b(n)<=c(n),所以∑a(n)<=∑b(n)<=∑c(n)。由于∑a(n)发散,所以根据比较原理,∑b(n)和∑c(n)也发散。
3. 因为a(n)<=b(n)<=c(n),所以∑a(n)<=∑b(n)<=∑c(n)。由于∑a(n)收敛且∑c(n)发散,所以根据比较原理,∑b(n)也发散。
4. 因为a(n)<=b(n)<=c(n),所以∑a(n)<=∑b(n)<=∑c(n)。由于∑a(n)发散且∑c(n)收敛,所以根据比较原理,∑b(n)收敛。
已知三个数列有大小关系a(n)<=b(n)<=c(n),如果∑a(n)收敛且∑c(n)收敛,则∑b(n)
由于a(n)<=b(n)<=c(n),所以对于任意正整数n,有:
na(n) <= ∑a(k) (k=1 to n)
∑b(k) (k=1 to n) <= nb(n)
∑c(k) (k=1 to n) >= nc(n)
将上述不等式相加,得到:
na(n) + ∑b(k) (k=1 to n) + ∑c(k) (k=1 to n) <= ∑a(k) + nb(n) + nc(n)
因为∑a(n)和∑c(n)都收敛,所以它们的极限都为有限值L。因此,当n趋近于无穷大时,na(n)和nc(n)都趋近于无穷大,而∑a(k) + nb(n) + nc(n)趋近于L + nb(n)。因此,当n趋近于无穷大时,有:
∑b(k) (k=1 to n) <= L + nb(n)
因此,∑b(n)也收敛,证毕。
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