分别利用Jacobi迭代法、Gauss-Seidel迭代法和SOR迭代法 ( o=1.15
时间: 2024-06-02 19:09:16 浏览: 21
这三种迭代方法都是求解线性方程组的算法,但它们的迭代方式不同。下面分别介绍这三种方法。
1. Jacobi迭代法
Jacobi迭代法是最基本的迭代法之一。对于线性方程组 Ax=b,Jacobi迭代法的迭代公式为:
$x_i^{(k+1)}=\frac{1}{a_{ii}}(b_i-\sum_{j=1,j\neq i}^na_{ij}x_j^{(k)})$
其中,$x_i^{(k+1)}$表示第k+1次迭代后的第i个未知数的解,$x_j^{(k)}$表示第k次迭代后的第j个未知数的解,a是系数矩阵,b是常数向量。
Jacobi迭代法的优点是简单易懂,每一次迭代都需要遍历整个矩阵,因此对于大规模的线性方程组,收敛速度较慢。
2. Gauss-Seidel迭代法
Gauss-Seidel迭代法是Jacobi迭代法的改进版。对于线性方程组 Ax=b,Gauss-Seidel迭代法的迭代公式为:
$x_i^{(k+1)}=\frac{1}{a_{ii}}(b_i-\sum_{j=1}^{i-1}a_{ij}x_j^{(k+1)}-\sum_{j=i+1}^na_{ij}x_j^{(k)})$
与Jacobi迭代法不同的是,Gauss-Seidel迭代法在计算第i个未知数的解时,已经使用了第i个未知数的上一次迭代结果$x_i^{(k+1)}$,这样可以加速收敛速度。
3. SOR迭代法
SOR迭代法是Gauss-Seidel迭代法的进一步改进。对于线性方程组 Ax=b,SOR迭代法的迭代公式为:
$x_i^{(k+1)}=(1-\omega)x_i^{(k)}+\frac{\omega}{a_{ii}}(b_i-\sum_{j=1}^{i-1}a_{ij}x_j^{(k+1)}-\sum_{j=i+1}^na_{ij}x_j^{(k)})$
其中,$\omega$是松弛因子,取值范围为(0,2)。当$\omega$=1时,SOR迭代法就是Gauss-Seidel迭代法。一般来说,$\omega$的取值需要通过试验得到。在实际应用中,$\omega$的取值越接近最优值,收敛速度就越快。
综上所述,Jacobi迭代法、Gauss-Seidel迭代法和SOR迭代法都是求解线性方程组的算法,它们的迭代方式不同,因此收敛速度也不同。在实际应用中,需要根据具体问题选择合适的迭代方法。
相关推荐
![rar](https://img-home.csdnimg.cn/images/20210720083606.png)
![zip](https://img-home.csdnimg.cn/images/20210720083736.png)
![pdf](https://img-home.csdnimg.cn/images/20210720083512.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)