如何化简cov = 1/n∑_i=0^n▒P_i∙P_i^T−(1/n∑_i=0^n▒P_i)∙(1/n∑_i=0^n▒P_i)^T
时间: 2024-05-18 21:16:48 浏览: 16
我们可以将协方差矩阵的式子进行展开和化简:
首先,将上式中的第一项展开,得到:
1/n∑_i=0^n▒P_i∙P_i^T = (P_0∙P_0^T + P_1∙P_1^T + ... + P_n∙P_n^T) / n
然后,将上式中的第二项展开,得到:
1/n∑_i=0^n▒P_i = (P_0 + P_1 + ... + P_n) / n
将其平方并展开,得到:
(1/n∑_i=0^n▒P_i)∙(1/n∑_i=0^n▒P_i)^T = (P_0 + P_1 + ... + P_n)∙(P_0 + P_1 + ... + P_n)^T / n^2
将其代入原始式子中,得到:
cov = (P_0∙P_0^T + P_1∙P_1^T + ... + P_n∙P_n^T) / n - (P_0 + P_1 + ... + P_n)∙(P_0 + P_1 + ... + P_n)^T / n^2
以上就是化简后的协方差矩阵的式子。
相关问题
已经获得了协方差矩阵,如何用计算相关系数β_i: β_i=σ_iM/(σ_i^2 )=(Cov(r_i,r_M))/(σ_M^2)
在已经获得了协方差矩阵的情况下,计算相关系数βi的公式为:
βi = Cov(ri, rM) / σM^2
其中,ri表示第i个资产的收益率,rM表示市场组合的收益率,σi表示第i个资产的标准差,σM表示市场组合的标准差,Cov(ri, rM)表示第i个资产与市场组合的协方差。
具体计算步骤如下:
1. 计算市场组合的标准差σM。
2. 计算每个资产的收益率与市场组合的收益率的协方差Cov(ri, rM)。
3. 计算每个资产的标准差σi。
4. 根据公式计算每个资产的相关系数βi。
以三个资产为例,假设它们的收益率和协方差矩阵如下:
| 0.03 0.01 0.02 |
| 0.01 0.05 0.03 |
| 0.02 0.03 0.04 |
假设市场组合的收益率为0.04,则市场组合的标准差为:
σM = sqrt(0.04) = 0.2
然后,分别计算每个资产的标准差和与市场组合的协方差:
σ1 = sqrt(0.03) ≈ 0.173
σ2 = sqrt(0.05) ≈ 0.224
σ3 = sqrt(0.04) = 0.2
Cov(r1, rM) = 0.01
Cov(r2, rM) = 0.03
Cov(r3, rM) = 0.02
最后,根据公式计算每个资产的相关系数:
β1 = 0.01 / (0.2^2) = 0.25
β2 = 0.03 / (0.2^2) = 0.75
β3 = 0.02 / (0.2^2) = 0.5
因此,资产1的收益率与市场组合的波动较小,资产2的收益率与市场组合的波动较大,资产3的收益率与市场组合的波动适中。
已经获得了协方差矩阵,如何用R语言计算相关系数β_i: β_i=σ_iM/(σ_i^2 )=(Cov(r_i,r_M))/(σ_M^2)
假设你已经获得了协方差矩阵 `cov_mat`,其中第 i 行第 j 列的元素 `cov_mat[i,j]` 表示第 i 只股票与第 j 只股票的协方差。同时你已经计算出了每只股票的标准差 `std_dev` 和市场收益率的标准差 `market_std_dev`。那么可以按如下方式计算相关系数 β_i:
```{r}
beta <- cov_mat[, "market"] / market_std_dev^2
beta <- beta / std_dev
```
其中 `cov_mat[, "market"]` 表示协方差矩阵中第一列与 "market" 列的元素,即每只股票与市场的协方差。`market_std_dev^2` 表示市场收益率的标准差的平方。最后一行即为将 beta 向量中的每个元素除以对应的 std_dev 值,得到每只股票的相关系数 β_i。
相关推荐
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)