1. 已知一组实验数据如下： i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 xi 1 3 4 5 6 7 8 9 10 yi 10 5 4 2 1 1 2 3 4 试用最小二乘法求它的多项式拟合曲线，并求出最低点的位置。

根据最小二乘法，我们需要先构建一个关于未知参数的线性方程组，然后求解该方程组得到参数，从而得到拟合曲线。在本题中，我们要拟合的是一个二次曲线，因此需要构建如下的线性方程组：

$\begin{bmatrix} n & \sum x_i & \sum x_i^2 \\ \sum x_i & \sum x_i^2 & \sum x_i^3 \\ \sum x_i^2 & \sum x_i^3 & \sum x_i^4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_0 \\ a_1 \\ a_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \sum y_i \\ \sum x_i y_i \\ \sum x_i^2 y_i \end{bmatrix}$

其中，$n$为数据点的数量，$x_i$和$y_i$分别为第$i$个数据点的自变量和因变量，$a_0$、$a_1$和$a_2$为拟合曲线的参数，拟合曲线的表达式为$y = a_0 + a_1 x + a_2 x^2$。

将给定的数据代入上式，得到：

$\begin{bmatrix} 9 & 55 & 285 \\ 55 & 285 & 1575 \\ 285 & 1575 & 9795 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_0 \\ a_1 \\ a_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 32 \\ 162 \\ 924 \end{bmatrix}$

解这个方程组，得到：

$a_0 = 2.819$, $a_1 = -5.211$, $a_2 = 2.076$

因此，拟合曲线的表达式为$y = 2.819 - 5.211x + 2.076x^2$。最低点的位置可以通过求导得到，即：

$\frac{dy}{dx} = -5.211 + 4.152x = 0$

解得$x = 1.256$，因此最低点的位置为$x = 1.256$，$y = 4.188$。