求解关于t的微分方程：a+bt+ln（ct）=0

首先对方程两边同时求导数，得到：

b + 1/t + c'/c = 0

其中 c' 表示对 c(t) 求导数。将上式整理，得到：

c'/c = -b - 1/t

然后对 c(t) 进行求解，得到：

c(t) = Ae^(-bt-ln(t))

其中 A 是一个常数。将 c(t) 代入原方程，得到：

a + bt + ln(A) - bt - ln(t) = 0

化简后得到：

ln(A) + a = ln(t)

移项得到：

ln(A) = -a + ln(t)

因此：

c(t) = Ae^(-bt-ln(t)) = Ae^(-a)

所以，关于 t 的微分方程为：

c'(t)/c(t) = -b - 1/t

解析解为：

c(t) = Ae^(-a) / t^(b+1)

其中 A 是一个常数。

相关问题

求解微分方程：m*dv/dt=mg-k*v^2,v(0)=0

首先将微分方程化简为标准形式：

m dv/dt = mg - k v^2

将右侧的常数项移到左侧，得到：

m dv/dt + k v^2 = mg

这是一个一阶非齐次常微分方程，可以使用变量分离法求解。

首先将方程写成以下形式：

dv / (mg - k v^2) = dt / m

然后对两边同时进行积分：

∫ dv / (mg - k v^2) = ∫ dt / m

接下来需要进行一些代数变换：

令 u = v / sqrt(mg/k)，则 dv = sqrt(mg/k) du

将上述代换带入原方程得到：

∫ du / (1 - u^2) = ∫ dt / sqrt(mgk)

这是一个简单的积分，可以使用部分分式分解和反三角函数来求解：

∫ du / (1 - u^2) = 1/2 ln |(1+u)/(1-u)| + C1

∫ dt / sqrt(mgk) = (1 / sqrt(mgk)) t + C2

将上述式子带回原方程，得到：

1/2 ln |(1+v/sqrt(mg/k))/(1-v/sqrt(mg/k))| = (1 / sqrt(mgk)) t + C

移项整理得到：

v(t) = sqrt(mg/k) * ( (1-e^(-2sqrt(mgk)/m t)) / (1+e^(-2sqrt(mgk)/m t)) )

根据初始条件 v(0) = 0，可以解出常数 C = 0，因此最终的解为：

v(t) = sqrt(mg/k) * ( (1-e^(-2sqrt(mgk)/m t)) / (1+e^(-2sqrt(mgk)/m t)) )

求解下列微分方程：dy/dx=x^2/(1+x^3)

将微分方程变形为：

dy/dx = x^2 / (1+x^3)

分母可以因式分解为 (x+1)(x^2-x+1)，因此可以写成：

dy/dx = x^2 / [(x+1)(x^2-x+1)]

对等式两边同时积分，得到：

∫ dy = ∫ x^2 / [(x+1)(x^2-x+1)] dx

右侧积分可以使用部分分式分解来解决。首先，根据部分分式分解的公式，假设右侧分母可以写成：

(x+1)(x^2-x+1) = A(x+1) + B(x^2-x+1)

其中，A 和 B 是待定常数。将等式两边同时乘以 (x+1)(x^2-x+1)，得到：

x^2 = A(x+1)^2 + B(x^2-x+1)(x+1)

将 x 分别取 -1, 0, 1，可以得到以下三个方程：

-1 = 2A - B
0 = A + B
1 = 4A + 2B

解以上方程可以得到 A=-1/3 和 B=4/3。因此，右侧积分可以变形为：

∫ x^2 / [(x+1)(x^2-x+1)] dx = ∫ [-1/(3(x+1))]dx + ∫ [4x-1/(3(x^2-x+1))]dx

对右侧的两个积分分别使用常见的积分公式，得到：

∫ [-1/(3(x+1))]dx = -(1/3) ln|x+1| + C1

和

∫ [4x-1/(3(x^2-x+1))]dx = 2x^2 - (2/3) ln|x^2-x+1| + C2

因此，微分方程的解为：

y = -(1/3) ln|x+1| + 2x^2 - (2/3) ln|x^2-x+1| + C

其中，C 是积分常数。