基于施密特正交化变换的QR分解

QR分解是一种将一个矩阵分解为一个正交矩阵和一个上三角矩阵的方法。其中，正交矩阵Q的列向量是互相正交的，而且模长为1，上三角矩阵R是一个非奇异的三角矩阵。

施密特正交化变换是一种将线性无关向量组变为正交向量组的方法。对于一个n维向量空间中的线性无关向量组$a_1,a_2,...,a_n$，我们可以通过以下方式得到一个正交向量组$q_1,q_2,...,q_n$：

1. $q_1=\frac{a_1}{\left\|a_1\right\|}$

2. $q_2=\frac{a_2-(a_2 \cdot q_1)q_1}{\left\|a_2-(a_2 \cdot q_1)q_1\right\|}$

3. $q_3=\frac{a_3-(a_3 \cdot q_1)q_1-(a_3 \cdot q_2)q_2}{\left\|a_3-(a_3 \cdot q_1)q_1-(a_3 \cdot q_2)q_2\right\|}$

...

$n. q_n=\frac{a_n-(a_n \cdot q_1)q_1-(a_n \cdot q_2)q_2-...-(a_n \cdot q_{n-1})q_{n-1}}{\left\|a_n-(a_n \cdot q_1)q_1-(a_n \cdot q_2)q_2-...-(a_n \cdot q_{n-1})q_{n-1}\right\|}$

将上述得到的正交向量组$q_1,q_2,...,q_n$组成一个正交矩阵Q，即$Q=[q_1,q_2,...,q_n]$。那么，对于任意一个m行n列的矩阵A，我们可以通过QR分解得到$A=QR$，其中Q是一个m行n列的正交矩阵，R是一个n行n列的上三角矩阵。

具体来说，我们可以通过施密特正交化变换将矩阵A的列向量变为一个正交向量组$q_1,q_2,...,q_n$，并将其组成一个正交矩阵Q。然后，我们可以将$A$表示为$A=Q \cdot R$的形式，其中$R$是一个n行n列的上三角矩阵。这个过程可以通过Gram-Schmidt算法实现。

需要注意的是，当矩阵A不满秩时，QR分解可能存在多种形式。在实际应用中，我们可以采用不同的QR分解算法来处理不同类型的矩阵，并选择最适合问题的QR分解形式。