以matlab实现平均梯度的计算代码，并写出原理公式

平均梯度是指对于一个函数$f(x)$，在$x$处的梯度$\nabla f(x)$与在其邻域内$x$处梯度的平均值的差值，即：

$$\text{avg_grad}(x) = \nabla f(x) - \frac{1}{|\mathcal{N}(x)|}\sum_{y\in\mathcal{N}(x)}\nabla f(y)$$

其中，$\mathcal{N}(x)$表示$x$的邻域。

Matlab代码如下：

function avg_grad = compute_avg_grad(f, x, dx)
% f: 待计算函数
% x: 当前点
% dx: 邻域半径

% 计算邻域内的梯度
grads = zeros(size(x));
for i = 1:length(x)
    x_left = x;
    x_left(i) = x_left(i) - dx;
    x_right = x;
    x_right(i) = x_right(i) + dx;
    grads(i) = (f(x_right) - f(x_left)) / (2*dx);
end

% 计算平均梯度
avg_grad = zeros(size(x));
for i = 1:length(x)
    x_left = x;
    x_left(i) = x_left(i) - dx;
    x_right = x;
    x_right(i) = x_right(i) + dx;
    avg_grad(i) = grads(i) - mean(grads);
end
end

该函数输入为待计算函数$f$、当前点$x$和邻域半径$dx$，输出为$x$处的平均梯度$\text{avg_grad}(x)$。

具体实现中，首先计算$x$处的梯度$\nabla f(x)$和邻域内的梯度。然后，对于每个维度$i$，计算$x$邻域内的两个点$x_{left}, x_{right}$，分别令其第$i$维减小和增大$dx$，计算其梯度，最后计算平均梯度。