# 二、请证明当 T(n) = 2T(n/2)+n, T(1) = 0 时， T(n) = nlog2(n), 假设 n 是 2 的指数倍

证明：

当 n=1 时，T(1) = 0，成立。

假设当 n=k 时，T(k) = klog2(k)，成立。

当 n=2k 时，

T(2k) = 2T(k) + 2k

= 2klog2(k) + 2k （根据假设）

= 2k(log2(k) + 1)

= 2klog2(2k)

因此，当 n=2k 时，T(n) = nlog2(n) 成立。

综上所述，当 T(n) = 2T(n/2)+n, T(1) = 0 时，T(n) = nlog2(n)，假设 n 是 2 的指数倍，得证。

相关问题

二、请证明当 T(n) = 2T(n/2)+n, T(1) = 0 时， T(n) = nlog2(n), 假设 n 是 2 的指数倍

我们可以使用归纳法来证明当 T(n) = 2T(n/2)+n, T(1) = 0 时， T(n) = nlog2(n)，假设 n 是 2 的指数倍。

基本情况：当 n = 1 时，T(1) = 0，nlog2(n) = 0，两者相等。

归纳假设：假设当 n = 2^k 时，T(n) = nlog2(n) 成立，其中 k 是非负整数。

归纳步骤：当 n = 2^(k+1) 时，

T(n) = 2T(n/2) + n

= 2T(2^k) + 2^(k+1)

= 2(2^k log2(2^k)) + 2^(k+1) （根据归纳假设，T(2^k) = 2^k log2(2^k)）

= 2^(k+1) k + 2^(k+1)

= 2^(k+1) (k+1)

= nlog2(n)

因此，当 T(n) = 2T(n/2)+n, T(1) = 0 时， T(n) = nlog2(n)，假设 n 是 2 的指数倍成立。

# 二、请编写python证明当 T(n) = 2T(n/2)+n, T(1) = 0 时， T(n) = nlog2(n), 假设 n 是 2 的指数倍

我们可以使用归纳法来证明这个结论。

首先，当 n=1 时，根据题目条件，T(1)=0，而 nlog2(n) = 1*log2(1) = 0，因此结论成立。

接着，假设当 n=k 时，T(k) = klog2(k) 成立，即：

T(k) = 2T(k/2) + k = 2*(k/2*log2(k/2)) + k = k*log2(k) - k + k = k*log2(k)

现在我们来证明当 n=2k 时，T(2k) = 2k*log2(2k)。

当 n=2k 时，有：

T(2k) = 2T(k) + 2k = 2k*log2(k) + 2k

因为 k 是 2 的指数倍，所以 log2(k) 是整数，因此我们可以将 2k*log2(k) 表示为 k*log2(k) + k*log2(2) = k*log2(k) + k。

于是，我们有：

T(2k) = 2k*log2(k) + 2k = k*log2(k) + k + k*log2(2) = k*log2(2k)

因此，当 n=2k 时，T(n) = nlog2(n) 成立。

综上所述，结论成立。