求解证明题1：求解递推方程并证明结论 求 丁(n)=2T（n/2)+n/logn 的解，并用代入归纳法证明。

### 回答1：
题目描述：

求解 T(n) = 2T(n/2) + n/logn，同时用代入归纳法证明解的正确性。

解答：

我们可以使用代入归纳法来求解此递归式。

当 n = 1 时，T(1) = 2T(1/2) + 1/log1 = 2T(1/2)，即 T(1) = Θ(1)。

现假设对于所有的 m < n，都有 T(m) = Θ(m log m)。

那么对于 n，我们有：

T(n) = 2T(n/2) + n/logn
= 2(Θ((n/2) log(n/2))) + n/logn （根据归纳假设）
= Θ(n log(n/2)) + n/logn
= Θ(n logn - n) + n/logn
= Θ(n logn)

因此，T(n) 的解为 Θ(n logn)。接下来，我们使用代入归纳法证明此解的正确性。

当 n = 1 时，T(1) = Θ(1) = Θ(1 log 1)。假设对于所有的 m < n，都有 T(m) = Θ(m log m)。那么对于 n，我们有：

T(n) = 2T(n/2) + n/logn
= 2Θ((n/2) log(n/2)) + n/logn
= Θ(n log(n/2)) + n/logn
= Θ(n logn - n) + n/logn
= Θ(n logn)

因此，对于所有的 n，T(n) = Θ(n logn)，证毕。

### 回答2：
为了求解递推方程丁(n)=2T(n/2) n/logn，首先我们需要了解递推方程和代入归纳法的基本概念。

递推方程是指通过已知的初始条件，利用递推关系式逐步计算出待求解的数列或函数值的一种方程。而代入归纳法是一种数学论证方法，通过将待证结论代入到递推关系式中，并基于已证明的初始条件来逐步验证结论是否成立。

对于递推方程丁(n)=2T(n/2) n/logn，我们可以先观察到这是一个递归定义问题，其中丁(n)是一个函数，而T(n)是其中的一个子问题。

假设n是2的k次方，即n = 2^k，其中k是非负整数。可以推导出n/2 = 2^(k-1)，进而我们可以将递推关系式改写为：
丁(n)=2T(2^(k-1))

将T(2^(k-1))用类似的方式展开，我们有：
T(2^(k-1))=2T(2^(k-1-1))

继续展开，我们得到：
T(2^(k-1-1))=2T(2^(k-1-1-1))

以此类推，最终可以得到：
丁(n)=2^k * T(1)

其中T(1)是递归关系的初始条件。

我们知道，n=log(2^k)=klog2，所以原问题可以改写为：
丁(n) = 2^(n/logn) * T(1)

接下来，我们将使用代入归纳法来证明这个结论。

代入归纳法分为两个步骤：基本步骤和归纳步骤。

基本步骤：当n等于1时，根据递推方程的定义，丁(1)=2T(1)。这个基本步骤成立。

归纳步骤：假设对于任意的n=k，递推方程丁(k)=2^(k/logk) * T(1)成立。我们来证明对于n=k+1，丁(k+1)=2^((k+1)/log(k+1)) * T(1)成立。

当n=k+1时，根据递推方程的定义，我们有：
丁(k+1) = 2T((k+1)/2)

由于(k+1)/2 <= (k+1)，
根据我们在基本步骤中得到的丁(n)=2^(n/logn) * T(1)的结论，
我们可以得到：
2T((k+1)/2) = 2^(k+1/log(k+1)) * T(1)
丁(k+1) = 2^((k+1)/log(k+1)) * T(1)

由此我们可以看出，对于任意的正整数n，递推方程丁(n)=2^(n/logn) * T(1)成立。

综上所述，我们求解了递推方程丁(n)=2T(n/2) n/logn的解，并用代入归纳法证明了结论的正确性。

### 回答3：
首先，我们来求解递推方程丁(n) = 2T(n/2) / (n/logn) 的解。

根据递推关系，我们可以观察到每次对n进行除以2的操作，而且n是逐渐减小的。因此，我们猜测递推的终止条件是n=1。

当n=1时，代入递推方程中，我们得到：
丁(1) = 2T(1/2) / (1/log1)
由于1/log1的值为0，在不考虑除以0的情况下，我们将递推终止在n=2。

然后，我们用代入归纳法证明结论。

对于n=2时，我们有：
丁(2) = 2T(2/2) / (2/log2)
由于2/2=1，代入递推方程中，我们得到：
丁(2) = 2T(1) / (2/log2)

接下来，假设对于任意的k < n，都有丁(k) = 2T(k/2) / (k/logk) 成立。我们来证明对于n，也满足这个递推关系。

当n=2k时，代入递推方程中，我们得到：
丁(2k) = 2T((2k)/2) / ((2k)/log(2k))
丁(2k) = 2T(k) / ((2k)/log(2k))
丁(2k) = (2/log(2k)) * T(k) / (k/logk)
丁(2k) = 2 * (logk / log(2k)) * T(k) / (k/logk)
丁(2k) = 2T(k) / (k/logk)
由此可见，对于n=2k的情况，递推关系仍然成立。

综上所述，对于任意的n，丁(n) = 2T(n/2) / (n/logn) 的解满足这个递推方程。