某船厂有 100 种余料，各种余料的数量不同，有一客户提出多种规格的不同数量的 要求，试从现有的余料中找出与客户要求相匹配的余料，使得各件余料切割 成客户要求的型材后，所剩下的废料总和最小，试建立数学模型来解决余料匹配方式（不考 虑切割损耗和切割费用）。

假设客户提出 $n$ 种规格的要求，分别为 $L_1, L_2, \cdots, L_n$，需要的数量分别为 $q_1, q_2, \cdots, q_n$。现有 $m$ 种余料，分别为 $S_1, S_2, \cdots, S_m$，数量分别为 $a_1, a_2, \cdots, a_m$，每种余料的长度为 $l_1, l_2, \cdots, l_m$。

我们可以使用 0-1 整数规划来建立数学模型。令 $x_{ij}$ 表示是否使用第 $i$ 种余料来满足第 $j$ 种要求，若使用则为 1，否则为 0。同时，我们引入一个辅助变量 $y_i$，表示使用第 $i$ 种余料所剩下的废料长度。

则该问题的数学模型为：

$$\begin{aligned}
\text{minimize} \quad & \sum_{i=1}^m y_i \\
\text{subject to} \quad
& \sum_{i=1}^m x_{ij} = q_j, && j=1,2,\cdots,n \\
& \sum_{j=1}^n l_i x_{ij} \leq a_i + y_i, && i=1,2,\cdots,m \\
& x_{ij} \in \{0,1\}, && i=1,2,\cdots,m, j=1,2,\cdots,n \\
& y_i \geq 0, && i=1,2,\cdots,m
\end{aligned}$$

其中第一个约束条件表示要满足客户的所有要求，第二个约束条件表示使用的余料不能超过现有数量，并且要满足剩下的废料长度最小。最后两个约束条件分别是变量的定义域。

这个模型可以使用整数规划求解器进行求解。由于该问题是 NP 难问题，因此对于大规模数据，可能需要使用启发式算法来求解。