若序列 X={B,C,A,D,B,C,D},Y={A,C,B,A,B,D,C,D},请给出 序列 X 和 Y 的一个最长公共子序列
时间: 2023-10-04 15:06:12 浏览: 234
根据动态规划算法,可以用一个二维数组来记录两个序列的最长公共子序列的长度。设 $X$ 和 $Y$ 的长度分别为 $m$ 和 $n$,则可定义一个 $m+1$ 行 $n+1$ 列的二维数组 $dp$,其中 $dp_{i,j}$ 表示 $X$ 的前 $i$ 个元素和 $Y$ 的前 $j$ 个元素的最长公共子序列的长度。
接下来,通过填写 $dp$ 数组中的元素,可以求出 $X$ 和 $Y$ 的最长公共子序列的长度。具体的动态规划转移方程为:
$$
dp_{i,j}=\begin{cases}
0 & i=0\text{ or }j=0 \\
dp_{i-1,j-1}+1 & i,j>0\text{ and }x_i=y_j \\
\max\{dp_{i,j-1},dp_{i-1,j}\} & i,j>0\text{ and }x_i\neq y_j
\end{cases}
$$
其中第一行和第一列的初始值都为 $0$,因为当一个序列为空时,它与任何序列的最长公共子序列都是 $0$。
根据以上动态规划转移方程,可以填写出如下的 $dp$ 数组:
| | | A | C | B | A | B | D | C | D |
|:-:|---|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:|
| | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| B | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| C | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 2 | 2 |
| A | 0 | 1 | 1 | 1 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 |
| D | 0 | 1 | 1 | 1 | 2 | 2 | 3 | 3 | 3 |
| B | 0 | 1 | 1 | 2 | 2 | 3 | 3 | 3 | 3 |
| C | 0 | 1 | 2 | 2 | 2 | 3 | 3 | 4 | 4 |
| D | 0 | 1 | 2 | 2 | 2 | 3 | 4 | 4 | 5 |
最终,$dp_{7,8}=5$,因此 $X$ 和 $Y$ 的一个最长公共子序列为 {A,B,C,D}。