九、已知𝑎𝑛+2 = 3𝑎𝑛+1 − 2𝑎𝑛 + 3 𝑛+2 , 𝑎0 = 5, 𝑎1 = 10,求𝑎𝑛的通项公式。(
时间: 2024-01-23 21:01:44 浏览: 13
我们可以先将递推式转化为特征方程。令𝑓(𝑛)=𝑎𝑛,那么有:
𝑓(𝑛+2)−3𝑓(𝑛+1)+2𝑓(𝑛)=−3
将𝑓(𝑛)表示为特征方程的形式,即𝑓(𝑛)=𝑎𝑟𝑛,其中𝑎𝑟是特征方程的解。代入递推式,得:
𝑎𝑟𝑛+2−3𝑎𝑟𝑛+1+2𝑎𝑟𝑛=−3
化简得:
𝑎𝑟(𝑛+2−3𝑛+1+2)=−3
即:
𝑎𝑟2−3𝑎𝑟+2+2=0
解得:
𝑎𝑟1=1/2, 𝑎𝑟2=2
故通项公式为:
𝑎𝑛=𝐴(1/2)𝑛+𝐵(2)𝑛
代入初始条件得:
5=𝐴+𝐵
10=𝐴(1/2)+2𝐵
解得:
𝐴=10/3, 𝐵=5/3
故通项公式为:
𝑎𝑛=(10/3)(1/2)𝑛+(5/3)(2)𝑛
相关问题
已知𝑎𝑛+2 = 3𝑎𝑛+1 − 2𝑎𝑛 + 3 𝑛+2 , 𝑎0 = 5, 𝑎1 = 10,求𝑎𝑛的通项公式
我们可以先尝试计算一些项,看看能否找到规律。
$a_0 = 5$
$a_1 = 10$
$a_2 = 3a_1 - 2a_0 + 3 \times 2 = 24$
$a_3 = 3a_2 - 2a_1 + 3 \times 3 = 63$
$a_4 = 3a_3 - 2a_2 + 3 \times 4 = 122$
观察这些项,我们可以猜测通项公式为 $a_n = 2n^2 + 3n + 5$。
现在我们来证明这个猜测。首先,我们可以证明 $a_n = 2n^2 + 3n + 5$ 是一个解。
当 $n=0$ 时,$a_0 = 2 \times 0^2 + 3 \times 0 + 5 = 5$,符合初始条件。
当 $n=1$ 时,$a_1 = 2 \times 1^2 + 3 \times 1 + 5 = 10$,也符合初始条件。
现在,我们来证明 $a_n = 2n^2 + 3n + 5$ 是通项公式。我们可以通过数学归纳法来证明。
假设对于任意 $k \leq n$,$a_k = 2k^2 + 3k + 5$ 成立,那么我们需要证明 $a_{n+1} = 2(n+1)^2 + 3(n+1) + 5$ 也成立。
根据题目给出的等式,我们可以得到:
$a_{n+2} = 3a_{n+1} - 2a_n + 3(n+2)$
代入归纳假设和通项公式,得到:
$3(2(n+1)^2 + 3(n+1) + 5) - 2(2n^2 + 3n + 5) + 3(n+2)$
化简后得到:
$6n^2 + 15n + 13$
这恰好就是 $a_{n+1}$ 的值,也就是说,假设对于 $n$ 成立,那么对于 $n+1$ 也成立。
因此,我们可以得出结论,$a_n = 2n^2 + 3n + 5$ 是通项公式。
已知 s(x)=x− 3×1! x 3 + 5×2! x 5 − 7×3! x 7 +...。编写程序,求s(x)前10项的和,x从键盘输入
好的,这道题可以使用循环和阶乘函数来实现。
下面是 Python 的代码实现:
```python
import math
x = float(input("请输入 x 的值:")) # 获取输入的 x 值
sum = 0 # 初始化 sum 变量
sign = 1 # 初始化符号变量
for i in range(1, 11): # 循环10次,求s(x)的前10项
term = sign * ((2 * i - 1) * math.factorial(2 * i - 2) * x**(2 * i - 1)) # 计算每一项的值
sum += term # 将每一项的值加入到 sum 中
sign = -sign # 符号变量取反
print("s(x)前10项的和为:", sum) # 输出结果
```
这段代码先获取了输入的 x 值,然后使用循环计算 s(x) 的前 10 项,每一项的计算公式如下:
$$(-1)^{i-1}\times(2i-1)\times(i-1)!\times x^{2i-1}$$
其中, $i$ 表示第几项, $(-1)^{i-1}$ 是符号变量,每一次循环都要取反一次。最后将每一项的值加入到 sum 中,最终输出 s(x) 前 10 项的和。
注意:为了避免阶乘过大导致计算机无法处理,可以使用 math 模块中的 factorial 函数来计算阶乘。