已知 ∫ ( 5 , 6 ) ( 1 , 2 ) f d x + g d y = ∫ ( 5 , 6 ) ( 1 , 2 ) − ( 15 x 4 y 2 d x + 6 y x 5 d y ) 的路径独立： ∂ f ∂ y = ∂ g ∂ x = ∫ ( 5 , 6 ) ( 1 , 2 ) − ( 15 x 4 y 2 d x + 6 y x 5 d y ) =

根据路径独立的条件，我们有：

∂f/∂y = -15x^4y^2

∂g/∂x = -15x^4y^2

因此，可以得出：

f(x,y) = ∫∂(5,6)(x,y) -15t^4y^2 dt + C1(y)

g(x,y) = ∫∂(5,6)(x,y) -15x^4t^2 dt + C2(x)

其中，C1(y) 和 C2(x) 是关于 y 和 x 的常数函数。

根据路径积分的计算公式，我们有：

∫(5,6)(1,2) f dx + g dy = ∫(5,6)(1,2) (-15x^4y^2 dx - 6yx^5 dy)

将 f 和 g 的表达式代入上式，可得：

∫(5,6)(1,2) (-15x^4y^2 dx - 6yx^5 dy) = ∫(5,6)(1,2) (-15x^4y^2 dx - 6yx^5 dy)

因此，原积分为 ∫(5,6)(1,2) (-15x^4y^2 dx - 6yx^5 dy)。