单位反馈系统的开环传递函数为 G(s)=1/s+试根据式(6-11)频率特性的定义求闭环系统在输人信号r(t)=sin(t+30°)-2cos(5t-45°)作用下的稳态输出。
时间: 2023-08-02 09:08:37 浏览: 177
根据式(6-11),闭环系统的频率特性定义为:
H(jω) = G(jω) / (1 + G(jω)H0(jω))
其中,G(jω)为开环传递函数,H0(jω)为反馈传递函数。
将给定的开环传递函数代入上式,得到:
H(jω) = (1 / (jω)) / (1 + (1 / (jω))H0(jω))
通常情况下,反馈传递函数选用负反馈,即:
H0(jω) = -1
因此,上式可化简为:
H(jω) = (jω) / (jω + 1)
将输入信号 r(t) 代入闭环系统,得到输出信号 y(t) 的表达式:
y(t) = |H(jω)| * |R(jω)| * cos(ωt + φ)
其中,
|H(jω)| = sqrt(ω^2 / (ω^2 + 1))
|R(jω)| = sqrt(5^2 + (-2)^2) = sqrt(29)
φ = arg(H(jω)) - arg(R(jω)) = atan(ω) - atan(-2 / 5)
将输入信号 r(t) 代入上式,得到:
y(t) = sqrt(29) * sqrt(ω^2 / (ω^2 + 1)) * cos(ωt + atan(ω) - atan(-2 / 5))
将输入信号 r(t) = sin(t+30°) - 2cos(5t-45°) 代入上式,得到:
y(t) = sqrt(29) * sqrt(ω^2 / (ω^2 + 1)) * cos(ωt + atan(ω) - atan(-2 / 5) - 45°) - 2sqrt(29) * sqrt(1 / (ω^2 + 1)) * sin(5t - atan(-2 / 5))
因为要求稳态输出,所以需要让系统达到稳定状态,即让时间趋于无穷大时,系统的输出稳定在某个值。因此,我们需要找到系统的极点和零点,并判断系统的稳定性。
由于开环传递函数为 G(s)=1/s,所以系统的极点为 s=0。将极点代入反馈传递函数,得到系统的特征方程为:
1 + K / s = 0
其中,K为反馈系数。
特征方程的根为 s=-K。因此,当反馈系数 K 大于零时,系统是不稳定的。为了使系统稳定,需要选择反馈系数 K 小于零。一般情况下,选择 K=-1。
将反馈系数 K=-1 代入特征方程,得到反馈传递函数为:
H0(s) = -1 / s - 1
将反馈传递函数代入原式中,得到闭环传递函数为:
H(s) = G(s) / (1 + G(s)H0(s)) = 1 / (s^2 + s - 1)
系统的极点为:
s1,2 = (-1 ± sqrt(5)) / 2
由于实部为负,因此系统是稳定的。
将 s=jω 代入闭环传递函数,得到频率响应为:
H(jω) = 1 / (-ω^2 + jω - 1)
|H(jω)| = 1 / sqrt(ω^4 + ω^2 + 1)
φ = atan(-1 / (ω - s1)) + atan(-1 / (ω - s2))
其中,s1,2 为系统的极点。
将输入信号 r(t) = sin(t+30°) - 2cos(5t-45°) 代入闭环系统,得到输出信号 y(t) 的表达式:
y(t) = |H(jω)| * |R(jω)| * cos(ωt + φ)
将 |H(jω)| 和 φ 代入上式,得到输出信号 y(t) 的表达式为:
y(t) = (1 / sqrt(ω^4 + ω^2 + 1)) * sqrt(29) * cos(ωt + φ) - (2 / sqrt(ω^4 + ω^2 + 1)) * sin(5t - atan(-2 / 5))
因为要求稳态输出,所以需要让系统达到稳定状态,即让时间趋于无穷大时,系统的输出稳定在某个值。因此,我们需要找到系统的极点和零点,并判断系统的稳定性。
由于开环传递函数为 G(s)=1/s,所以系统的极点为 s=0。将极点代入反馈传递函数,得到系统的特征方程为:
1 + K / s = 0
其中,K为反馈系数。
特征方程的根为 s=-K。因此,当反馈系数 K 大于零时,系统是不稳定的。为了使系统稳定,需要选择反馈系数 K 小于零。一般情况下,选择 K=-1。
将反馈系数 K=-1 代入特征方程,得到反馈传递函数为:
H0(s) = -1 / s - 1
将反馈传递函数代入原式中,得到闭环传递函数为:
H(s) = G(s) / (1 + G(s)H0(s)) = 1 / (s^2 + s - 1)
系统的极点为:
s1,2 = (-1 ± sqrt(5)) / 2
由于实部为负,因此系统是稳定的。
将 s=jω 代入闭环传递函数,得到频率响应为:
H(jω) = 1 / (-ω^2 + jω - 1)
|H(jω)| = 1 / sqrt(ω^4 + ω^2 + 1)
φ = atan(-1 / (ω - s1)) + atan(-1 / (ω - s2))
其中,s1,2 为系统的极点。
将输入信号 r(t) = sin(t+30°) - 2cos(5t-45°) 代入闭环系统,得到输出信号 y(t) 的表达式:
y(t) = |H(jω)| * |R(jω)| * cos(ωt + φ)
将 |H(jω)| 和 φ 代入上式,得到输出信号 y(t) 的表达式为:
y(t) = (1 / sqrt(ω^4 + ω^2 + 1)) * sqrt(29) * cos(ωt + φ) - (2 / sqrt(ω^4 + ω^2 + 1)) * sin(5t - atan(-2 / 5))
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