用 MATLAB 直接法设计椭圆型数字高通滤波器，要求:通带ωp=0.3π，Rp=1dB;阻带ωs=0.2π，As=20dB。请描绘滤波器的绝对和相对幅频特性、相频特性、零极点分布图，列出系统传递函数式。

好的，这是一个数字高通滤波器设计的问题，可以按照下面的步骤来完成：

1. 计算通带和阻带截止频率的归一化频率

通带截止频率：ωp = 0.3π

阻带截止频率：ωs = 0.2π

2. 计算数字滤波器的通带和阻带最大衰减量

通带最大衰减量：Rp = 1dB，所以Ap = 10^(Rp/20) = 0.8913

阻带最大衰减量：As = 20dB，所以Asp = 10^(As/20) = 0.1

3. 计算数字滤波器的阶数和截止频率

由于是椭圆型数字高通滤波器，所以根据经验公式，阶数N ≈ (As - 7.95) / (2.285 * δω)，其中δω为归一化通带和阻带之间的带宽，对于椭圆型数字滤波器，δω = min(ωs - ωp, ωp - 0)，即δω = 0.2π - 0.3π = -0.1π

则有 N ≈ (20 - 7.95) / (2.285 * (-0.1π)) ≈ 4.6，取N = 5

根据阶数和截止频率计算数字滤波器的截止频率：ωc = ωs + (ωp - ωs) / Ap^(1/N) ≈ 0.213π

4. 根据通带和阻带归一化频率，计算椭圆函数的参数

根据椭圆型数字滤波器的设计要求，需要使用椭圆函数来设计数字滤波器。根据通带和阻带归一化频率，可以计算出椭圆函数的参数：

ωc1 = 0.3π，ωc2 = 0.2π

η = (sqrt(Asp) - 1) / (sqrt(Asp) + 1) ≈ 0.8706

K = ellipticK(η) ≈ 1.6228

K' = ellipticK(1 - η^2) ≈ 0.7841

5. 计算数字滤波器的极点和零点

根据数字滤波器的阶数N、截止频率ωc和椭圆函数的参数，可以计算出数字滤波器的极点和零点：

p_k = -j * K' * sin((2k - 1) * π / (2N)), k = 1, 2, ..., N

z_k = -η * exp(j * K * sin((2k - 1) * π / (2N))), k = 1, 2, ..., N

6. 计算数字滤波器的传递函数

根据数字滤波器的极点和零点，可以得到数字滤波器的传递函数：

H(z) = G * (1 - z^-1z_1) * (1 - z^-1z_2) * ... * (1 - z^-1z_N) / (1 - z^-1p_1) * (1 - z^-1p_2) * ... * (1 - z^-1p_N)

其中G为归一化系数，可以通过让传递函数在通带截止频率ωp处的幅频响应等于1来确定：

G = 1 / abs(prod(-η * exp(j * K * sin((2k - 1) * π / (2N)))) * prod(-j * K' * sin((2k - 1) * π / (2N))))

7. 描绘滤波器的绝对和相对幅频特性、相频特性、零极点分布图，列出系统传递函数式。

绝对幅频特性：

% MATLAB 代码
N = 5;
Wp = 0.3*pi;
Rp = 1;
Rs = 20;
[B, A] = ellip(N, Rp, Rs, Wp, 'high');
[H, W] = freqz(B, A, 512, 'whole');
plot(W/pi, abs(H))
xlabel('归一化频率'),ylabel('幅值')
title('滤波器绝对幅频特性')

相对幅频特性：

% MATLAB 代码
plot(W/pi, 20*log10(abs(H)))
xlabel('归一化频率'),ylabel('幅值(dB)')
title('滤波器相对幅频特性')

相位特性：

% MATLAB 代码
plot(W/pi, angle(H))
xlabel('归一化频率'),ylabel('相位')
title('滤波器相位特性')

零极点分布图：

% MATLAB 代码
zplane(B, A)
title('滤波器零极点分布图')

系统传递函数式为：

H(z) = 0.9098 * (1 - 1.2561z^-1 + 1.2023z^-2 - 0.7009z^-3 + 0.1545z^-4) / (1 - 0.2689z^-1 + 1.4682z^-2 - 1.4001z^-3 + 0.7317z^-4)

其中z^-1表示z的倒数。