求函数u=f(x,y,z),其中x=x(a,b),y=y(a,b),z=z(a,b)的链式法则
时间: 2024-05-17 22:12:16 浏览: 21
链式法则可以用于求解多元函数的导数,可以表示为:
![chain rule](https://latex.codecogs.com/svg.image?\frac{\partial&space;u}{\partial&space;a}=\frac{\partial&space;u}{\partial&space;x}\frac{\partial&space;x}{\partial&space;a}+\frac{\partial&space;u}{\partial&space;y}\frac{\partial&space;y}{\partial&space;a}+\frac{\partial&space;u}{\partial&space;z}\frac{\partial&space;z}{\partial&space;a})
![chain rule](https://latex.codecogs.com/svg.image?\frac{\partial&space;u}{\partial&space;b}=\frac{\partial&space;u}{\partial&space;x}\frac{\partial&space;x}{\partial&space;b}+\frac{\partial&space;u}{\partial&space;y}\frac{\partial&space;y}{\partial&space;b}+\frac{\partial&space;u}{\partial&space;z}\frac{\partial&space;z}{\partial&space;b})
根据链式法则,可以求解函数 u=f(x,y,z) 的偏导数:
![chain rule](https://latex.codecogs.com/svg.image?\frac{\partial&space;u}{\partial&space;a}=\frac{\partial&space;f}{\partial&space;x}\frac{\partial&space;x}{\partial&space;a}+\frac{\partial&space;f}{\partial&space;y}\frac{\partial&space;y}{\partial&space;a}+\frac{\partial&space;f}{\partial&space;z}\frac{\partial&space;z}{\partial&space;a})
![chain rule](https://latex.codecogs.com/svg.image?\frac{\partial&space;u}{\partial&space;b}=\frac{\partial&space;f}{\partial&space;x}\frac{\partial&space;x}{\partial&space;b}+\frac{\partial&space;f}{\partial&space;y}\frac{\partial&space;y}{\partial&space;b}+\frac{\partial&space;f}{\partial&space;z}\frac{\partial&space;z}{\partial&space;b})
其中,`x=a(a,b)`、`y=y(a,b)`、`z=z(a,b)` 分别表示变量 x、y、z 的函数关系,`f_x(x,y,z)`、`f_y(x,y,z)`、`f_z(x,y,z)` 分别表示函数 f 对 x、y、z 的偏导数,`x_a(a,b)`、`x_b(a,b)`、`y_a(a,b)`、`y_b(a,b)`、`z_a(a,b)`、`z_b(a,b)` 分别表示变量 x、y、z 对变量 a、b 的偏导数。最后,`u_a` 和 `u_b` 分别表示函数 u 对变量 a、b 的偏导数。
综合以上公式,可以编写以下代码函数:
```python
def u(a, b):
x = x_func(a, b)
y = y_func(a, b)
z = z_func(a, b)
f_x = f_x_func(x, y, z)
f_y = f_y_func(x, y, z)
f_z = f_z_func(x, y, z)
x_a = x_a_func(a, b)
x_b = x_b_func(a, b)
y_a = y_a_func(a, b)
y_b = y_b_func(a, b)
z_a = z_a_func(a, b)
z_b = z_b_func(a, b)
u_a = f_x * x_a + f_y * y_a + f_z * z_a
u_b = f_x * x_b + f_y * y_b + f_z * z_b
return u_a, u_b
```
其中,`x_func(a, b)`、`y_func(a, b)`、`z_func(a, b)` 分别表示变量 x、y、z 的函数关系,`f_x_func(x, y, z)`、`f_y_func(x, y, z)`、`f_z_func(x, y, z)` 分别表示函数 f 对 x、y、z 的偏导数,`x_a_func(a, b)`、`x_b_func(a, b)`、`y_a_func(a, b)`、`y_b_func(a, b)`、`z_a_func(a, b)`、`z_b_func(a, b)` 分别表示变量 x、y、z 对变量 a、b 的偏导数。最后,`u_a` 和 `u_b` 分别表示函数 u 对变量 a、b 的偏导数。
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