非线性方程牛顿法与不动点迭代法收敛次数与收敛时间对比实例
时间: 2024-06-05 08:09:11 浏览: 10
我们可以通过解决以下非线性方程来比较牛顿法和不动点迭代法的收敛次数和收敛时间:
$$x^3 - x - 1 = 0$$
首先,让我们使用牛顿法来解决这个方程。我们从 $x_0 = 1$ 开始,并使用以下公式进行迭代:
$$x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$$
其中 $f(x) = x^3 - x - 1$,$f'(x) = 3x^2 - 1$。
迭代过程如下:
| n | $x_n$ | $f(x_n)$ | $f'(x_n)$ | $x_{n+1}$ |
|---|-------------|------------------|-----------------|----------------|
| 0 | 1 | -1 | 2 | 1.5 |
| 1 | 1.5 | 0.875 | 4.25 | 1.317647059 |
| 2 | 1.317647059 | 0.05306250076 | 3.722399774 | 1.324718115 |
| 3 | 1.324718115 | 0.00037715555 | 3.631688874 | 1.324717957 |
| 4 | 1.324717957 | 9.14348112e-12 | 3.631688777 | 1.324717957 |
我们可以看到,牛顿法在 4 次迭代后收敛到解 $x \approx 1.3247$。
现在,让我们使用不动点迭代法来解决同样的方程。我们可以将原方程改写为 $x = g(x)$ 的形式,其中 $g(x) = \frac{1}{x^2+1}$。
我们从 $x_0 = 1$ 开始,使用以下公式进行迭代:
$$x_{n+1} = g(x_n)$$
迭代过程如下:
| n | $x_n$ | $x_{n+1}$ |
|---|-------------|---------------|
| 0 | 1 | 0.5 |
| 1 | 0.5 | 0.8 |
| 2 | 0.8 | 0.6923076923 |
| 3 | 0.6923076923 | 0.7868852459 |
| 4 | 0.7868852459 | 0.724137931 |
| 5 | 0.724137931 | 0.7724137931 |
| 6 | 0.7724137931 | 0.7358490566 |
| 7 | 0.7358490566 | 0.7586206897 |
| 8 | 0.7586206897 | 0.7432432432 |
| 9 | 0.7432432432 | 0.7534246575 |
| 10 | 0.7534246575 | 0.7462686567 |
| 11 | 0.7462686567 | 0.7506265664 |
| 12 | 0.7506265664 | 0.7474766216 |
| 13 | 0.7474766216 | 0.7495145631 |
| 14 | 0.7495145631 | 0.7482014388 |
我们可以看到,不动点迭代法在 14 次迭代后收敛到解 $x \approx 0.7482$。
从上面的结果可以看出,牛顿法在迭代次数上表现更好,但是每次迭代的计算成本更高。而不动点迭代法的每次迭代计算成本较低,但是需要更多的迭代次数才能达到相同的精度。因此,在实际应用中,需要根据具体情况选择合适的方法。
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