非线性方程组的不动点迭代法

非线性方程组的不动点迭代法是一种求解非线性方程组的数值方法。它基于不动点的概念，通过迭代逼近方程组的解。具体步骤如下[^2]：

1. 将非线性方程组转化为不动点形式。例如，对于方程组 F(x) = 0，可以将其转化为 x = g(x)，其中 g(x) = x - F(x)。

2. 选择一个初始近似解 x0。

3. 迭代计算下一个近似解 x1，使用公式 x1 = g(x0)。

4. 重复步骤3，直到满足停止准则。停止准则可以是达到预设的迭代次数，或者近似解的变化小于某个给定的阈值。

下面是一个使用不动点迭代法求解非线性方程组的示例代码[^1]：

function x = fixedPointIteration(F, g, x0, maxIter, tol)
    for k = 1:maxIter
        x = g(x0);
        if abs(x - x0) < tol
            break;
        end
        x0 = x;
    end
end

% 示例方程组 F(x) = 0
function y = F(x)
    y(1) = x(1)^2 + x(2)^2 - 1;
    y(2) = x(1) - x(2)^2;
end

% 不动点迭代函数 g(x)
function y = g(x)
    y(1) = sqrt(1 - x(2)^2);
    y(2) = sqrt(x(1));
end

% 初始近似解
x0 = [0.5; 0.5];

% 最大迭代次数和容差
maxIter = 100;
tol = 1e-6;

% 调用不动点迭代函数求解方程组
x = fixedPointIteration(@F, @g, x0, maxIter, tol);