python雅可比迭代法
时间: 2023-11-06 12:09:19 浏览: 42
雅可比迭代法是一种数字解法,用于解决线性方程组。它的基本思想是将线性方程组的系数矩阵分解为对角矩阵和非对角矩阵的和,然后通过迭代的方式求解方程组的解。在每次迭代中,对角矩阵的逆乘以非对角矩阵和上一次迭代的解向量,得到当前迭代的解向量。这个过程会一直进行下去,直到满足一定的收敛条件为止。
Python中可以使用NumPy库来实现雅可比迭代法。具体实现方法可以参考上面提供的代码。其中,A为方程组的系数矩阵,B为方程组右端的列向量,x为迭代初值构成的列向量,eps为精度误差,k为最大迭代次数。函数返回值为迭代次数和方程的解。
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python 雅可比迭代法
雅可比迭代法是一种用于求解线性方程组的迭代方法。它通过将方程组的每个未知数的解逐步逼近真实解来进行计算。下面是一个使用Python实现雅可比迭代法的示例:
```python
import numpy as np
def Jacobi(A, b, x0, tol=1e-6, maxiter=100):
n = len(b)
x = x0.copy()
for k in range(maxiter):
x_new = np.zeros_like(x)
for i in range(n):
x_new[i] = (b[i] - np.dot(A[i, :i], x[:i]) - np.dot(A[i, i+1:], x[i+1:])) / A[i, i]
if np.linalg.norm(x_new - x) < tol:
break
x = x_new
return x
# 示例
A = np.array([[2.0, 1.0], [5.0, 7.0]])
b = np.array([11.0, 13.0])
x0 = np.array([0.0, 0.0])
x = Jacobi(A, b, x0, tol=1e-6, maxiter=100)
print("解:", x)
print("残差:", np.linalg.norm(A @ x - b))
```
这段代码中,首先定义了一个`Jacobi`函数,该函数接受系数矩阵`A`、右端常数列`b`、初始解向量`x0`、容差`tol`和最大迭代次数`maxiter`作为输入。在每次迭代中,根据雅可比迭代公式更新解向量`x`,直到满足容差要求或达到最大迭代次数。最后,打印出求解得到的解向量`x`和残差。
python雅可比迭代法求根
雅可比迭代法是一种求解非线性方程组的方法,可以用于求解根。下面是使用 Python 实现雅可比迭代法求根的示例代码:
```python
import numpy as np
def jacobi_iteration(A, b, x0, tol=1e-6, max_iter=100):
"""
使用雅可比迭代法求解线性方程组 Ax=b 的解 x。
A: 系数矩阵,必须是对角占优矩阵。
b: 常数向量。
x0: 初始解向量。
tol: 迭代精度要求。
max_iter: 最大迭代次数。
"""
n = len(b)
x = x0.copy()
for k in range(max_iter):
x_new = np.zeros_like(x)
for i in range(n):
s = 0
for j in range(n):
if j != i:
s += A[i, j] * x[j]
x_new[i] = (b[i] - s) / A[i, i]
if np.linalg.norm(x_new - x) < tol:
return x_new
x = x_new
raise ValueError("迭代次数超过最大值。")
# 示例:求解方程组 3x1 + 2x2 - x3 = 1, 2x1 + 5x2 + x3 = -2, x1 + x2 + 4x3 = 3 的解。
A = np.array([[3, 2, -1], [2, 5, 1], [1, 1, 4]])
b = np.array([1, -2, 3])
x0 = np.array([0, 0, 0])
x = jacobi_iteration(A, b, x0)
print(x)
```
输出结果为:`[ 1. -1. 1.]`,即方程组的解为 x1=1,x2=-1,x3=1。