\oint_{|z|=2}^{} \frac{z}{z^{2}+1 }dz 的值为
时间: 2023-11-01 13:28:17 浏览: 115
我们可以使用留数定理来计算这个复积分。首先,分母 $z^2+1=0$ 的解为 $z=\pm i$,这两个点都在以原点为圆心、半径为 $2$ 的圆 $|z|=2$ 内部。在这个圆内部,被积函数 $\frac{z}{z^2+1}$ 是一个全纯函数,因此圆内部的积分为 $0$。接下来,我们需要计算圆上的积分,即:
$$\oint_{|z|=2}^{} \frac{z}{z^{2}+1 }dz=\oint_{|z|=2}^{} \frac{\frac{1}{2z}}{z-\left(-i\right)}-\frac{\frac{1}{2z}}{z-i}dz$$
现在我们可以看出,这个积分是由 $z=i$ 和 $z=-i$ 两个点的留数贡献的。在 $z=i$ 处,分子为 $\frac{1}{2z}$,因此 $z=i$ 处的留数为 $\frac{1}{2i}$;在 $z=-i$ 处,分子为 $-\frac{1}{2z}$,因此 $z=-i$ 处的留数为 $-\frac{1}{2i}$。因此,根据留数定理,圆上的积分值为:
$$\oint_{|z|=2}^{} \frac{z}{z^{2}+1 }dz=2\pi i\left(\frac{1}{2i}-\frac{1}{-2i}\right)=\pi$$
因此,原复积分的值为 $\pi$。
相关问题
计算\oint_{|z=1|}^{} \frac{e^{z}\bar{z}^{2} }{(\bar{z}+2 )^{2} } dz
由于积分路径为圆周 $|z|=1$,我们可以将积分路径上的积分转化为积分路径围成的区域内的积分,运用柯西-格林定理:
$$
\oint_{|z|=1} \frac{e^{z}\bar{z}^{2} }{(\bar{z}+2 )^{2} } dz = \int_{D} \frac{e^{z}\bar{z}^{2} }{(\bar{z}+2 )^{2} } dz
$$
其中 $D$ 是圆周 $|z|=1$ 围成的区域。
我们对被积函数 $\frac{e^{z}\bar{z}^{2} }{(\bar{z}+2 )^{2} }$ 进行分析,可以看到它在点 $z=-2$ 处有一个一阶极点,因此我们可以尝试运用留数定理。
令 $f(z) = \frac{e^{z}\bar{z}^{2} }{(\bar{z}+2 )^{2} }$,则 $f(z)$ 在 $z=-2$ 处的留数为:
$$
\begin{aligned}
Res(f, -2) &= \lim_{z\to -2} (z+2) f(z) \\
&= \lim_{z\to -2} \frac{e^{z}\bar{z}^{2}}{\bar{z}+2} \\
&= \frac{e^{-2}(-2)^2}{-2+2} \\
&= 2e^{-2}
\end{aligned}
$$
根据留数定理,圆周 $|z|=1$ 围成的区域内的积分为:
$$
\oint_{|z|=1} \frac{e^{z}\bar{z}^{2} }{(\bar{z}+2 )^{2} } dz = 2\pi i Res(f, -2) = 2\pi i \cdot 2e^{-2} = 4\pi e^{-2}
$$
因此,原积分的计算结果为 $4\pi e^{-2}$。
计算∮_(|z|=1)▒〖(e^z z ̅^2)/〖(z ̅+2)〗^2 dz〗
首先,我们可以将积分路径转化为 $|z|=1$ 上的逆时针方向,这样可以使用 Cauchy 积分定理计算积分。注意到 $f(z)=\frac{e^z z^2}{(z+2)^2}$ 在积分路径内是解析的,因此有:
$$\oint_{|z|=1} \frac{e^z z^2}{(z+2)^2} dz = 2\pi i \text{Res}(f,-2)$$
现在我们需要计算 $f$ 在 $z=-2$ 处的留数。我们可以使用洛朗级数展开式:
$$f(z) = \frac{e^z z^2}{(z+2)^2} = \frac{1}{(z+2)^2} \sum_{n=0}^\infty \frac{z^{n+2}}{n!} = \sum_{n=0}^\infty \frac{z^{n}}{n!} \cdot \frac{1}{(z+2)^2}$$
因此,$f$ 在 $z=-2$ 处的留数为:
$$\text{Res}(f,-2) = \lim_{z \to -2} \frac{d}{dz} \left[(z+2)^2 f(z)\right] = -\frac{1}{4}e^{-2}$$
最终,我们得到:
$$\oint_{|z|=1} \frac{e^z z^2}{(z+2)^2} dz = 2\pi i \cdot \left(-\frac{1}{4}e^{-2}\right) = -\frac{\pi i}{2} e^{-2}$$
因此,$\displaystyle{\oint_{|z|=1} \frac{e^z z^2}{(z+2)^2} dz = -\frac{\pi i}{2} e^{-2}}$。
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