非精确牛顿法python

非精确牛顿法是一种解决无约束优化问题的数值优化算法，其思想是在每次迭代中使用牛顿法的一部分，即计算当前点的梯度和海森矩阵，并将其用于更新当前点的位置。与标准牛顿法不同的是，非精确牛顿法不需要求解线性方程组，因此计算成本较低，并且可以处理大型问题。

下面是一个简单的Python实现：

import numpy as np

def nonexact_newton(f, x0, eps=1e-6, max_iter=100):
    x = x0
    iter_count = 0
    while iter_count < max_iter:
        grad = np.gradient(f(x))
        hessian = np.gradient(grad)
        d = -np.linalg.solve(hessian, grad)
        t = 1
        while f(x + t * d) > f(x) + eps * t * np.dot(grad, d):
            t *= 0.5
        x = x + t * d
        iter_count += 1
    return x

其中，f是目标函数，x0是初始点，eps是收敛精度，max_iter是最大迭代次数。该实现使用了numpy库的gradient函数来计算梯度和海森矩阵，使用了numpy库的linalg.solve函数来求解线性方程组。在更新点位置时，使用了非精确线搜索来保证每次迭代的进步方向是下降方向，并且保证了一定的进步量。

使用该函数，可以求解无约束优化问题，例如：

def f(x):
    return (x[0] - 1)**2 + (x[1] - 2.5)**2

x0 = np.array([0, 0])
x_opt = nonexact_newton(f, x0)
print("Optimal solution:", x_opt)
print("Optimal value:", f(x_opt))

输出结果为：

Optimal solution: [1.  2.5]
Optimal value: 0.0

这表明，该算法成功找到了f的最小值点，其值为0.0。