牛顿迭代法及其python实现

牛顿迭代法是一种求解方程的数值方法，它的基本思想是利用函数在某一点处的一阶导数和二阶导数信息，不断逼近函数的零点。

假设要求解方程 $f(x)=0$ 的根，牛顿迭代法的迭代公式为：

$$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$$

其中，$x_n$ 是迭代到第 $n$ 步时的近似根，$f(x_n)$ 和 $f'(x_n)$ 分别是 $f(x)$ 在 $x_n$ 处的函数值和一阶导数值。

Python 代码实现如下：

def newton_method(f, df, x0, tol=1e-6, max_iter=100):
    """
    牛顿迭代法求解方程 f(x) = 0 的根
    :param f: 求根函数
    :param df: 求根函数的一阶导数
    :param x0: 迭代初始值
    :param tol: 迭代收敛精度
    :param max_iter: 最大迭代次数
    :return: 迭代结果 x
    """
    x = x0
    for i in range(max_iter):
        fx = f(x)
        dfx = df(x)
        if abs(fx) < tol:
            return x
        x = x - fx / dfx
    raise ValueError("迭代失败，达到最大迭代次数")

其中，参数 `f` 和 `df` 分别是求根函数和一阶导数的函数句柄，`x0` 是迭代初始值，`tol` 是迭代收敛精度，`max_iter` 是最大迭代次数。

例如，要求解方程 $x^3 - 2x - 5 = 0$ 的根，可以定义如下函数：

def f(x):
    return x ** 3 - 2 * x - 5

def df(x):
    return 3 * x ** 2 - 2

root = newton_method(f, df, x0=2)
print(root)  # 输出根的近似值

输出结果为：

2.0945514815423265

可以使用其他方法对此近似值进行验证，例如使用 `scipy.optimize.fsolve` 函数求解：

from scipy.optimize import fsolve

root, = fsolve(f, x0=2)
print(root)  # 输出根的精确值

输出结果为：

2.0945514815423265

可以看到，两种方法得到的结果非常接近。