1、复合求积公式计算定积分(1)\ln 2-\ln 3=-2 \int_{2}^{3} \frac{1}{x^{2}-1} d x (2) \ln 2-\ln 3=-2 \int_{2}^{3} \frac{1}{x^{2}-1} d xe^{2}=\int_{1}^{2} x e^{x} d x 用复合梯形公式、复合Simpson公式、龙贝格公式求定积分,要求绝对误差为ε=1/2*10^-7,将计算结果与精确解做比较,并对计算结果进行分析。
时间: 2024-04-27 12:19:59 浏览: 9
首先,我们可以将第一个积分式化简为:
$$
\ln 2-\ln 3=-2 \int_{2}^{3} \frac{1}{x^{2}-1} d x=-\int_{2}^{3} \frac{1}{x-1} d x+\int_{2}^{3} \frac{1}{x+1} d x
$$
然后,我们可以将第二个积分式进行分部积分,得到:
$$
\int_{1}^{2} x e^{x} d x=[x e^{x}]_{1}^{2}-\int_{1}^{2} e^{x} d x=2 e^{2}-e-\frac{1}{2}(e^{3}-e)
$$
接下来,我们可以使用复合梯形公式、复合Simpson公式、龙贝格公式求解定积分,并分析计算结果与精确解的差异。
复合梯形公式:
复合梯形公式是通过将积分区间分为若干个小区间,然后在每个小区间内用梯形来逼近被积函数的曲线,从而求得积分近似值。具体公式为:
$$
\int_{a}^{b} f(x) d x \approx \frac{b-a}{2n} [f(a)+2 f(x_1)+2 f(x_2)+\cdots+2 f(x_{n-1})+f(b)]
$$
其中,$n$ 为小区间个数,$x_i$ 为每个小区间的中点。
我们可以先选择一个较小的 $n$,然后计算出近似积分值和绝对误差,如果绝对误差不满足要求,则增大 $n$,重复计算,直到满足要求。
复合Simpson公式:
复合Simpson公式是通过将积分区间分为若干个小区间,然后在每个小区间内用二次多项式来逼近被积函数的曲线,从而求得积分近似值。具体公式为:
$$
\int_{a}^{b} f(x) d x \approx \frac{b-a}{6n} [f(a)+4 f(x_1)+2f(x_2)+4f(x_3)+\cdots+2f(x_{2n-2})+4f(x_{2n-1})+f(b)]
$$
其中,$n$ 为小区间个数,$x_i$ 为每个小区间的中点。
同样地,我们可以先选择一个较小的 $n$,然后计算出近似积分值和绝对误差,如果绝对误差不满足要求,则增大 $n$,重复计算,直到满足要求。
龙贝格公式:
龙贝格公式是通过将积分区间不断分半,然后利用递推公式来计算积分近似值和误差,从而求得积分近似值。具体公式为:
$$
R_{k,0}=\frac{b-a}{2} [f(a)+f(b)]
$$
$$
R_{k,j}= \frac{4^j R_{k,j-1}-R_{k-1,j-1}}{4^j-1}
$$
其中,$R_{k,j}$ 表示将积分区间 $[a,b]$ 分成 $2^j$ 个小区间,然后用 $k$ 次多项式来逼近被积函数的积分近似值,$R_{0,0}$ 就是用常数函数来逼近的积分近似值。
同样地,我们可以先选择一个较小的 $k$ 和 $j$,然后计算出近似积分值和绝对误差,如果绝对误差不满足要求,则增大 $j$,重复计算,直到满足要求。
最后,我们可以将三种方法得到的近似积分值和精确解进行比较,分析它们之间的差异。需要注意的是,对于第一个积分式,由于被积函数在 $x=1$ 和 $x=-1$ 处有极点,因此需要将积分区间分为 $[2,1+\epsilon]$ 和 $[1+\epsilon,3]$ 两部分来计算,其中 $\epsilon$ 是一个很小的正数。