分析典型二阶系统K/s(s+2ξω)的闭环控制系统，建立整个系统的系统函数

设该二阶系统的传递函数为 $G(s)$，控制器传递函数为 $C(s)$，反馈传递函数为 $H(s)$。则闭环传递函数为：

$$
\frac{Y(s)}{R(s)} = \frac{G(s)C(s)}{1 + G(s)C(s)H(s)}
$$

其中，$R(s)$ 表示输入信号，$Y(s)$ 表示输出信号。根据题意，该二阶系统的传递函数为：

$$
G(s) = \frac{K}{s(s+2\zeta \omega_n)}
$$

其中，$K$ 为系统增益，$\zeta$ 为阻尼比，$\omega_n$ 为自然频率。假设反馈传递函数为 $H(s) = 1$，则闭环传递函数变为：

$$
\frac{Y(s)}{R(s)} = \frac{\frac{K}{s(s+2\zeta \omega_n)}C(s)}{1 + \frac{K}{s(s+2\zeta \omega_n)}C(s)}
$$

整理得到系统函数为：

$$
\frac{Y(s)}{R(s)} = \frac{KC(s)}{s^2 + 2\zeta \omega_n s + K C(s)}
$$

相关问题

分析典型二阶系统K/s(s+2ξωn)的闭环控制系统，建立整个系统的系统函数

典型二阶系统K/s(s+2ξωn)的闭环控制系统如下图所示：


其中，K为系统增益，ξ为阻尼比，ωn为自然频率。假设系统的输入为r(t)，输出为c(t)，控制器的传递函数为G(s)，则根据上图可得闭环传递函数为：

$$\frac{c(s)}{r(s)}=\frac{K G(s)}{1+KG(s)\frac{1}{s(s+2ξωn)}}$$

将分母化简得：

$$\frac{c(s)}{r(s)}=\frac{K G(s) s(s+2ξωn)}{s^2+2ξωns+K G(s)}$$

整个系统的系统函数为：

$$\frac{c(s)}{r(s)}=\frac{Y(s)}{X(s)}=\frac{K G(s) s(s+2ξωn)}{s^2+2ξωns+K G(s)}$$

其中，X(s)表示输入信号的 Laplace 变换，Y(s)表示输出信号的 Laplace 变换。

1）分析典型二阶系统K/s(s+2ξωn)的闭环控制系统，建立整个系统的系统函数 2）利用Matlab分析不同系统参数的系统函数的频率特性（幅频、相频）、零极点分布、稳定性； 3）分析不同系统参数对整个控制系统的单位冲击响应和阶跃响应曲线，分析其时域特性指标（上升时间、超调量、调节时间）

1. 系统函数的推导

对于典型二阶系统K/s(s+2ξωn)，假设采用比例-积分-微分（PID）控制器，则闭环传递函数为：

G(s) = Kp + Ki/s + Kd s

其中，Kp、Ki、Kd 分别表示比例、积分、微分增益系数。将系统函数展开得：

G(s) = Kp + Ki/s + Kd s
= Kp s^2 / (s^2 + 2ξωn s + ωn^2) + Ki/s + Kd s

整个系统的系统函数为：

H(s) = G(s) / (1 + G(s))
= Kp s^2 / (s^2 + 2ξωn s + ωn^2) + Ki/s + Kd s + Kp s^2 / (s^2 + 2ξωn s + ωn^2)

化简得：

H(s) = (Kp s^2 + Ki s^3 + Kd s^4) / (s^4 + 2ξωn s^3 + (ωn^2 + Kp) s^2 + Ki s + Kd s^2)

2. Matlab分析

利用Matlab，我们可以分析不同系统参数的系统函数的频率特性（幅频、相频）、零极点分布、稳定性。

（1）频率特性

使用Matlab的bode函数可以绘制系统函数的幅频和相频特性曲线：

bode(H)

（2）零极点分布

使用Matlab的pzmap函数可以绘制系统函数的零极点分布图：

pzmap(H)

（3）稳定性判断

使用Matlab的isstable函数可以判断系统函数是否稳定：

isstable(H)

3. 时域特性分析

（1）单位冲击响应

使用Matlab的impulse函数可以绘制单位冲击响应曲线：

impulse(H)

（2）阶跃响应曲线

使用Matlab的step函数可以绘制阶跃响应曲线：

step(H)

（3）时域特性指标分析

根据阶跃响应曲线可以计算出系统的上升时间、超调量、调节时间等时域特性指标。其中，上升时间指从阶跃响应曲线起始点到达其最终稳定值所花费的时间；超调量指阶跃响应曲线最大超调量与最终稳定值之间的差距；调节时间指系统从初始状态到达最终稳定状态所需要的时间。

可以使用Matlab中的stepinfo函数计算这些指标：

stepinfo(H)