证明:(1+ tanα)/(1-tanα)=tan(π/4+α)
时间: 2023-08-15 14:05:34 浏览: 144
要证明等式 (1 + tanα) / (1 - tanα) = tan(π/4 + α),我们可以使用三角函数的定义和恒等式来进行推导。
首先,我们来展开等式的左边:
(1 + tanα) / (1 - tanα)
根据三角函数的定义,tanα = sinα / cosα,我们可以将等式改写为:
(1 + sinα / cosα) / (1 - sinα / cosα)
然后,我们可以将分数进行通分,得到:
[(1 * cosα + sinα) / cosα] / [(1 * cosα - sinα) / cosα]
继续简化,我们可以将分子进行因式分解:
[(cosα + sinα) / cosα] / [(cosα - sinα) / cosα]
接下来,我们可以利用公式(a + b)(a - b) = a² - b²,将分子和分母进行化简:
[(cosα + sinα) * cosα] / [(cosα - sinα) * cosα]
然后,我们可以将分子和分母都乘以cos(π/4 + α),得到:
[(cosα + sinα) * cos(π/4 + α)] / [(cosα - sinα) * cos(π/4 + α)]
继续运用三角函数的和差角公式,我们可以将等式进一步简化为:
[(cosα * cos(π/4) - sinα * sin(π/4) + sinα * cos(π/4) + cosα * sin(π/4))] / [(cosα * cos(π/4) - sinα * sin(π/4) - sinα * cos(π/4) - cosα * sin(π/4))]
根据三角函数的值,我们可以将上述等式化简为:
[(cosα * (1/√2) - sinα * (1/√2) + sinα * (1/√2) + cosα * (1/√2))] / [(cosα * (1/√2) - sinα * (1/√2) - sinα * (1/√2) - cosα * (1/√2))]
然后,我们可以将等式继续简化为:
[(cosα + sinα) / (cosα - sinα)] * (√2 / √2)
最后,我们可以将上述等式进一步化简为:
tan(π/4 + α) * (√2 / √2)
根据三角函数的定义,√2 / √2 = 1,因此上述等式可以简化为:
tan(π/4 + α)
因此,我们证明了等式 (1 + tanα) / (1 - tanα) = tan(π/4 + α)。