多项式插值(Polynomial Interpolation)
时间: 2024-05-29 20:15:34 浏览: 18
多项式插值是一种在给定的数据点集上构建一个多项式函数的方法,使得该函数通过所有给定的数据点。通常情况下,这些数据点都是离散的,且是由某个真实函数在这些点上的取值所得到的。
多项式插值的基本思想是,假设要构建一个 $n$ 次多项式 $P(x)$ 来拟合给定数据点 $(x_i, y_i)$,那么可以通过求解一个线性方程组来确定 $P(x)$ 的系数。具体而言,我们需要找到 $n+1$ 个系数 $a_0, a_1, \cdots, a_n$,使得对于所有 $i=0,1,\cdots,n$,都有 $P(x_i) = y_i$。
我们可以用拉格朗日插值法来解决这个问题。具体而言,我们可以定义一个 $n$ 次拉格朗日插值多项式 $L(x)$,使得对于所有 $i=0,1,\cdots,n$,都有 $L(x_i) = \delta_{ij}$,其中 $\delta_{ij}$ 表示 Kronecker delta,即当 $i=j$ 时为 $1$,否则为 $0$。这样,我们就可以将 $P(x)$ 表示为 $P(x) = \sum_{i=0}^{n} a_i L_i(x)$,其中 $L_i(x)$ 表示拉格朗日插值多项式中的第 $i$ 项。
最后,我们需要求解的问题就转化为了求解一个线性方程组,即:
$$
\begin{pmatrix}
L_0(x_0) & L_1(x_0) & \cdots & L_n(x_0) \\
L_0(x_1) & L_1(x_1) & \cdots & L_n(x_1) \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
L_0(x_n) & L_1(x_n) & \cdots & L_n(x_n)
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
a_0 \\
a_1 \\
\vdots \\
a_n
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
y_0 \\
y_1 \\
\vdots \\
y_n
\end{pmatrix}
$$
其中左侧矩阵是一个 Vandermonde 矩阵,通常可以用高斯消元法等方法求解。
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