2 已知一组观测数据，则其分段线性插值多项式

可以通过以下步骤求得：

1. 将数据按照自变量的大小排序，得到有序的数据点 $(x_1, y_1), (x_2, y_2), \dots, (x_n, y_n)$。

2. 对于每个相邻的数据点 $(x_i, y_i), (x_{i+1}, y_{i+1})$，求出斜率 $k_i = \frac{y_{i+1} - y_i}{x_{i+1} - x_i}$。

3. 对于每个相邻的数据点 $(x_i, y_i), (x_{i+1}, y_{i+1})$，构造一条直线 $y = k_i(x - x_i) + y_i$。

4. 将所有直线拼接起来，得到分段线性插值多项式。

例如，对于数据点 $(0, 1), (1, 2), (2, 3)$，分别计算出斜率 $k_1 = 1$ 和 $k_2 = 1$，然后构造出两条直线 $y = x + 1$ 和 $y = x + 2$，将它们拼接起来得到分段线性插值多项式：

$$
f(x) = \begin{cases}
x + 1, & 0 \leq x < 1 \\
x + 2, & 1 \leq x \leq 2 \\
\end{cases}
$$

相关问题

分段线性插值多项式matlab程序

以下是分段线性插值多项式的Matlab代码：

% 输入数据点
x = input('输入数据点x：');
y = input('输入数据点y：');
% 构造插值多项式
n = length(x);
for i=1:n-1
    a(i) = (y(i+1)-y(i))/(x(i+1)-x(i));
    b(i) = y(i) - a(i)*x(i);
end
% 输入插值点
xi = input('输入插值点xi：');
% 查找插值区间
if xi < x(1) || xi > x(n)
    error('插值点不在数据点区间内！');
end
for i=1:n-1
    if xi >= x(i) && xi <= x(i+1)
        break;
    end
end
% 计算插值结果
yi = a(i)*xi + b(i);
% 输出结果
fprintf('插值结果为：%.4f\n', yi);

其中，输入数据点和插值点的方式为手动输入，可以根据实际需要进行修改。插值结果的输出采用了`fprintf`函数，也可以根据需要进行修改。

分段线性插值，求插值多项式matlab

分段线性插值是一种简单的插值方法，不需要求解插值多项式。它的原理是将插值区间分成若干段，每一段内用一次多项式来逼近函数。如果你想在 MATLAB 中实现分段线性插值，并且得到每个区间内的插值多项式，则可以按照以下步骤进行：

1. 使用 `diff` 函数计算出 x 和 y 值之间的差值：

   dx = diff(x);
   dy = diff(y);

2. 计算出每个区间的斜率：

   m = dy ./ dx;

3. 计算出每个区间的截距：

   b = y(1:end-1) - m .* x(1:end-1);

4. 定义一个插值函数，可以根据给定的 x 值返回对应的插值 y 值：

   function y = piecewise_linear_interp(x, x_data, y_data, m, b)
       % 根据 x 值找到对应的区间
       idx = find(x >= x_data, 1, 'last');
       % 如果 x 值小于最小的 x_data
       if isempty(idx)
           y = y_data(1);
       % 如果 x 值大于最大的 x_data
       elseif idx == length(x_data)
           y = y_data(end);
       % 否则在对应的区间使用线性插值
       else
           y = m(idx) * x + b(idx);
       end
   end

5. 使用 `piecewise_linear_interp` 函数计算出插值结果：

   xx = linspace(min(x), max(x), 100); % 插值点
   yy = arrayfun(@(x) piecewise_linear_interp(x, x, y, m, b), xx);
   plot(x, y, 'o', xx, yy)

这样，你就可以在 MATLAB 中实现分段线性插值，并且得到每个区间内的插值多项式。