一个简单的傅里叶变换例子
时间: 2023-08-07 11:06:10 浏览: 59
一个简单的傅里叶变换例子是将一个正弦波信号进行傅里叶变换。
假设我们有一个正弦波信号:
$$f(t) = \sin(2\pi ft)$$
其中,$t$表示时间,$f$表示信号的频率。
我们可以通过傅里叶变换将这个信号转换为频域上的信号,即正弦波在频域上的成分。
傅里叶变换的公式为:
$$F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t)e^{-i\omega t}dt$$
其中,$F(\omega)$表示在频率$\omega$处的信号成分,$f(t)$表示原始信号,$i = \sqrt{-1}$为虚数单位。
我们将正弦波信号代入傅里叶变换公式中,得到:
$$F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} \sin(2\pi ft)e^{-i\omega t}dt$$
利用欧拉公式,可以将正弦函数表示为复指数形式:
$$\sin(x) = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i}$$
带入上式,得到:
$$F(\omega) = \frac{1}{2i} \int_{-\infty}^{\infty} e^{i(2\pi f - \omega)t} - e^{-i(2\pi f + \omega)t}dt$$
根据傅里叶变换的性质,对于实数信号,其频域上的成分是共轭对称的,即:
$$F(\omega) = F^*(-\omega)$$
因此,我们只需要计算$\omega \geq 0$时的成分即可。
继续化简,得到:
$$F(\omega) = \frac{1}{2i} \left[\frac{e^{i(2\pi f - \omega)t}}{i(2\pi f - \omega)} - \frac{e^{-i(2\pi f + \omega)t}}{i(2\pi f + \omega)}\right]_{-\infty}^{\infty}$$
当$\omega \neq 2\pi f$时,分式中的分母不为零,积分结果为0。因此,只有当$\omega = 2\pi f$时,积分结果不为0。
带入$\omega = 2\pi f$,得到:
$$F(2\pi f) = \frac{1}{2i} \left[\frac{e^{i(2\pi f - 2\pi f)t}}{i(2\pi f - 2\pi f)} - \frac{e^{-i(2\pi f + 2\pi f)t}}{i(2\pi f + 2\pi f)}\right]_{-\infty}^{\infty}$$
化简后,得到:
$$F(2\pi f) = \frac{1}{2i} \left[\frac{e^{0}}{0} - \frac{e^{0}}{4\pi^2 f^2}\right] = -\frac{1}{2i} \cdot \frac{1}{4\pi^2 f^2} = -\frac{1}{2\pi if}$$
因此,正弦波在频域上的成分为:
$$F(\omega) = -\frac{1}{2\pi if} \cdot 2\pi f = -i$$
即频域上只有一项,其幅度为1,相位为负90度。
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