已知数列递推式为：a1=1,a2,= a :+1,a2i+1= a :+ ai +1，求该数列的第 n 项，以及 前 n 项的最大值。

根据递推式，可以列出数列的前几项：

a1=1
a2=a
a3=a^2+1
a4=a(a^2+1)+1=a^3+a+1
a5=a(a^3+a+1)+1=a^4+a^2+a+1

观察数列的通项公式，可以发现数列的第 n 项为：

an=a^(2^{n-2})+a^(2^{n-3})+...+a^(2^0)+1

前 n 项的最大值为第 n 项，即：

max=a^(2^{n-2})+a^(2^{n-3})+...+a^(2^0)+1

因此，只需要计算出 a^(2^{n-2})+a^(2^{n-3})+...+a^(2^0) 的值即可求出答案。可以使用快速幂算法来计算。时间复杂度为 O(logn)。

相关问题

已知数列递推式为a1=1,a2i=ai+1

这个数列的递推式是a1=1，an=an-1 + 1。根据这个递推式，我们可以得到数列的前几项为：a1=1，a2=2，a3=3，a4=4，a5=5，...。

这个数列的规律很明显，每一项都比前一项大1。所以，数列中每一项的值都是前一项的后继者，也就是它前面所有项的数值总和。因此，我们可以得到数列的通项公式为an=n。

通过递推式分析，我们可以得出数列的通项公式为an=n，其中n表示数列的第n项。也就是说，数列中的每一项都等于它的下标值。根据这个公式，我们可以很方便地求出数列的任意一项的值。

例如，要求数列的第10项的值，根据通项公式an=n，我们可以得到a10=10。同样地，如果要求数列的第100项的值，根据通项公式可以得到a100=100。

总结起来，这个数列的递推式为a1=1，an=an-1 + 1，通项公式为an=n。根据通项公式，我们可以轻松求出数列的任意一项的值。

Fibonacci数列的递推公式为：Fn=Fn-1+Fn-2，其中F1=F2=1。 当n比较大时，Fn也非常大，现在我们想知道，Fn除以10007的余数是多少。

这是一个经典的斐波那契数列取模问题，可以使用矩阵快速幂算法来解决。首先，我们可以使用矩阵表示斐波那契数列的递推式：

| Fn   |   | 1  1 |   | Fn-1 |
|       | = |      | * |      |
| Fn-1 |   | 1  0 |   | Fn-2 |

然后，我们可以使用矩阵快速幂算法，将矩阵乘法的速度优化到O(log n)。具体来说，对于一个矩阵A和一个整数k，我们可以用以下递归式计算A的k次幂：

if k == 1:
    return A
if k % 2 == 0:
    B = pow(A, k/2)
    return B * B
else:
    B = pow(A, (k-1)/2)
    return B * B * A

最后，我们用取模运算优化一下，最终的代码如下：

def fib_mod(n):
    if n <= 2:
        return 1
    A = [[1, 1], [1, 0]]
    B = pow_mod(A, n-2, 10007)
    return (B[0][0] + B[0][1]) % 10007

def pow_mod(A, k, p):
    if k == 1:
        return A
    if k % 2 == 0:
        B = pow_mod(A, k/2, p)
        return mat_mul_mod(B, B, p)
    else:
        B = pow_mod(A, (k-1)/2, p)
        return mat_mul_mod(mat_mul_mod(B, B, p), A, p)

def mat_mul_mod(A, B, p):
    C = [[0, 0], [0, 0]]
    for i in range(2):
        for j in range(2):
            for k in range(2):
                C[i][j] = (C[i][j] + A[i][k] * B[k][j]) % p
    return C

这个函数使用了三个辅助函数：pow_mod函数用来计算矩阵的k次幂，mat_mul_mod函数用来计算两个矩阵的乘积，以及fib_mod函数用来计算斐波那契数列的第n项除以10007的余数。