python使用递归最小二乘法求最优解

最小二乘法是一种常用的回归分析方法，它的目的是找到一条曲线，使得该曲线与样本数据的误差平方和最小。递归最小二乘法（Recursive Least Squares，简称 RLS）是最小二乘法的一种形式，它可以在线性时间内逐步更新最优解。

下面是使用 Python 实现递归最小二乘法的示例代码：

import numpy as np

class RLS:
    def __init__(self, n_features, lamda=0.99):
        self.n_features = n_features
        self.lamda = lamda
        self.P = np.eye(n_features) / (1 - self.lamda)
        self.theta = np.zeros(n_features)

    def update(self, x, y):
        x = np.array(x).reshape((self.n_features, 1))
        y = np.array(y)
        error = y - x.T @ self.theta
        K = self.P @ x / (self.lamda + x.T @ self.P @ x)
        self.theta = self.theta + K.flatten() * error
        self.P = (self.P - K @ x.T @ self.P) / self.lamda

    def predict(self, x):
        x = np.array(x).reshape((self.n_features, 1))
        return x.T @ self.theta

在上述代码中，`RLS` 类是递归最小二乘法的实现，其中：

- `n_features` 表示特征的数量；
- `lamda` 是一个衰减因子，用于控制历史数据的权重；
- `P` 是一个协方差矩阵；
- `theta` 是最优解矩阵；
- `update` 方法用于更新最优解矩阵；
- `predict` 方法用于预测结果。

使用递归最小二乘法求解最优解的过程是逐步进行的，每次输入一个新的数据点，都要更新最优解矩阵。下面是一个简单的示例：

# 创建一个 RLS 实例
rls = RLS(n_features=2)

# 输入一些样本数据，更新最优解矩阵
for i in range(10):
    x = np.random.rand(2)  # 随机生成一个特征向量
    y = x @ np.array([1, 2]) + np.random.randn()  # 计算输出值
    rls.update(x, y)  # 更新最优解矩阵

# 使用最优解矩阵预测一个新的数据点
x_new = np.array([0.5, 0.6])
y_pred = rls.predict(x_new)
print(y_pred)

在上述代码中，我们随机生成了一些样本数据，并使用递归最小二乘法更新了最优解矩阵。最后，我们使用最优解矩阵预测了一个新的数据点的输出值。