利用格林公式计算半径为a的圆盘面积
时间: 2024-04-03 19:32:20 浏览: 17
根据格林公式,对于一个平面区域D,其边界曲线为C,且在该区域内的偏导数存在且连续,那么该区域的面积可以表示为:
$$
\iint_D \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} dxdy=\oint_C Pdx+Qdy
$$
其中P和Q是平面区域D内的连续可导函数,且$\frac{\partial Q}{\partial x}$和$\frac{\partial P}{\partial y}$在D内存在且连续。
对于半径为a的圆盘D,其边界曲线为圆周C,可以用极坐标表示为$r=a$,$0\leq\theta\leq 2\pi$。取P=0,Q=x,那么:
$$
\frac{\partial Q}{\partial x}=1,\frac{\partial P}{\partial y}=0
$$
因此,根据格林公式,圆盘面积可以表示为:
$$
\begin{aligned}
\iint_D \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} dxdy&=\oint_C Pdx+Qdy\\
&=\int_0^{2\pi}adx\\
&=2\pi a^2
\end{aligned}
$$
因此,半径为a的圆盘面积为2πa²。
相关问题
typora中格林公式
在Typora中,格林公式可以通过使用数学公式语法来表示。以下是格林公式的示例:
```
$$
\oint_C (Pdx + Qdy) = \iint_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right) dA
$$
```
这里,`P` 和 `Q` 是关于 `x` 和 `y` 的函数,`C` 是一个简单闭曲线,`D` 是由 `C` 围成的有界区域,`dx` 和 `dy` 分别代表微分长度在 `x` 和 `y` 方向上的变化,`dA` 是微分面积元素。
简洁的方法证明格林公式
格林公式又称为环绕积分定理,它表明了一个平面区域内的曲线积分可以转化为该区域内某个点的双重积分。下面给出一个简洁的证明:
考虑一个平面区域 $D$,边界为曲线 $\partial D$。设 $P(x,y)$ 和 $Q(x,y)$ 是 $D$ 内的两个函数,它们的偏导数连续。则有:
$$\oint_{\partial D}P(x,y)dx+Q(x,y)dy=\iint_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dxdy$$
证明如下:
根据曲线积分的定义,我们可以将 $\oint_{\partial D}P(x,y)dx+Q(x,y)dy$ 表示为:
$$\oint_{\partial D}P(x,y)dx+Q(x,y)dy=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}\left[P(x_i,y_i)\Delta x_i+Q(x_i,y_i)\Delta y_i\right]$$
其中,$\Delta x_i$ 和 $\Delta y_i$ 分别表示曲线段在 $x$ 和 $y$ 方向上的长度,$(x_i,y_i)$ 表示曲线段上的任意一点。
假设我们将区域 $D$ 分成 $n$ 个小矩形,每个小矩形的面积为 $\Delta S_i$,中心点为 $(\xi_i,\eta_i)$。则有:
$$\iint_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dxdy=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}\left[\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)(\xi_i,\eta_i)\Delta S_i\right]$$
现在我们需要证明的是:
$$\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}\left[P(x_i,y_i)\Delta x_i+Q(x_i,y_i)\Delta y_i\right]=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}\left[\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)(\xi_i,\eta_i)\Delta S_i\right]$$
为了证明这个等式,我们可以将每个小矩形分成四个三角形,如下图所示:
![image.png](https://cdn.luogu.com.cn/upload/image_hosting/edp9q6i6.png)
对于每个小三角形,我们都可以应用格林公式:
$$\begin{aligned} &\int_{C_i}P(x,y)dx+Q(x,y)dy \\ =&\int_{x_{i-1}}^{x_i}P(x,\eta_{i-1})dx+\int_{\eta_{i-1}}^{\eta_i}Q(x_i,y)dy-\int_{x_{i-1}}^{x_i}P(x,\eta_i)dx-\int_{\eta_{i-1}}^{\eta_i}Q(x_{i-1},y)dy \end{aligned}$$
其中 $C_i$ 表示小三角形的边界。将上式代入原式,得到:
$$\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}\left[P(x_i,y_i)\Delta x_i+Q(x_i,y_i)\Delta y_i\right]=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}\left[\int_{C_i}P(x,y)dx+Q(x,y)dy\right]$$
同样地,将 $\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}$ 代入格林公式,得到:
$$\begin{aligned} &\int_{C_i}(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dxdy \\ =&\int_{x_{i-1}}^{x_i}\int_{\eta_{i-1}}^{\eta_i}\frac{\partial Q}{\partial x}dxdy-\int_{\eta_{i-1}}^{\eta_i}\int_{x_{i-1}}^{x_i}\frac{\partial P}{\partial y}dydx \\ =&\int_{x_{i-1}}^{x_i}[Q(x_i,\eta)-Q(x_{i-1},\eta)]d\eta-\int_{\eta_{i-1}}^{\eta_i}[P(x,\eta_i)-P(x,\eta_{i-1})]dx \end{aligned}$$
将上式代入原式,得到:
$$\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}\left[\int_{C_i}P(x,y)dx+Q(x,y)dy\right]=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}\left[\int_{S_i}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dxdy\right]$$
其中 $S_i$ 表示小矩形的面积。因此,我们证明了:
$$\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}\left[P(x_i,y_i)\Delta x_i+Q(x_i,y_i)\Delta y_i\right]=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}\left[\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)(\xi_i,\eta_i)\Delta S_i\right]$$
于是,我们得到了格林公式:
$$\oint_{\partial D}P(x,y)dx+Q(x,y)dy=\iint_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dxdy$$