解释一下为什么在n个顶点的有向图,每个顶点的度最大
时间: 2024-05-24 20:13:40 浏览: 13
为n-1。
在有向图中,每个顶点的度表示有几条边以该顶点为起点或终点。因为一个顶点最多有n-1条出边和n-1条入边,所以其度最大为n-1。当该顶点与其他所有顶点都有边相连时,其出度和入度均为n-1,因此总度数为2(n-1),而在有向图中每条边都会被计算两次,一次为起点的度,一次为终点的度,所以总度数等于2m。因此,n个顶点的有向图中,每个顶点的度最大为n-1。
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解释一下为什么在n个顶点的无向图,每个顶点的度最大
为n-1。
在无向图中,每个顶点的度指的是与该顶点相连的边的数量。由于每条边都连接两个顶点,因此每个顶点的度的总和等于图中边的数量的两倍。即:
2 * 边的数量 = Σ每个顶点的度
我们知道,无向图中最多有n(n-1)/2条边,因此:
2 * 边的数量 ≤ 2 * n(n-1)/2 = n(n-1)
将这个不等式代入上面的式子中,得到:
Σ每个顶点的度 ≤ n(n-1)
假设某个顶点的度为k,则其它n-1个顶点中至少有n-k-1个顶点与它相邻。因此:
Σ每个顶点的度 ≥ (n-1) * (n-k-1) + k
将这个式子代入上面的式子中,得到:
(n-1) * (n-k-1) + k ≤ n(n-1)
化简后得到:
k ≤ n-1
因此,每个顶点的度最大为n-1。
一个有n个顶点的有向图,任何顶点的度都小于n。
对于一个有n个顶点的有向图,如果任何顶点的度都小于n,那么这个有向图一定是一个DAG(有向无环图)。
假设有向图中存在一个环,那么从环中的任意一个顶点出发,可以沿着环一直走下去,每经过一个顶点,该顶点的度数就会增加1。由于任何顶点的度都小于n,因此在经过n个顶点之后,一定会回到环中的某个顶点,这个顶点的度数将会大于等于n,与题目中所述的条件不符合。因此,该有向图不存在环,即为一个DAG。
DAG是一种非常重要的图,它在计算机科学和工程中有着广泛的应用,例如在编译器中用于表示代码的依赖关系,或者在调度和优化等领域中用于解决复杂的约束问题。在DAG中,不存在环,因此可以进行拓扑排序,从而得到一种线性的顺序,该顺序满足DAG中的任何一个顶点都排在其后继节点之后。