在一个具有n个顶点的有向图中,若所有顶点的出度数之和为s,则所有顶点的入度数之和

首先，我们知道在一个有向图中，每条边都有一个方向，顶点的出度表示以该顶点为起点的边的数量，入度表示以该顶点为终点的边的数量。

假设有一个具有n个顶点的有向图，我们需要证明所有顶点的入度数之和也为s。

首先我们知道，每个顶点的出度数之和为s，也就是说所有顶点的出度数之和为s。

那么对于每条边来说，它都会有一个起点和一个终点，因此计算所有边的起点的出度之和也等于所有边的终点的入度之和。

也就是说所有顶点的入度数之和也为s。

可以用归纳法进行证明：
对于只有一个顶点的情况，显然入度和出度相等，都为0，所以结论成立。
对于有n个顶点的情况，假设结论对n-1个顶点成立，即所有顶点的入度数之和等于出度数之和。
那么在有n个顶点的情况下，只需要添加一个顶点，并且与所有其他顶点形成边，则新添加的顶点的入度数为n-1，出度数为1，其他n-1个顶点的入度数之和为s，那么总的入度数之和为s+n-1等于总的出度数之和s。

因此，所有顶点的入度数之和也为s。

所以在一个具有n个顶点的有向图中，若所有顶点的出度数之和为s，则所有顶点的入度数之和也为s。

相关问题

无向连通图所有顶点的度数之和为偶数

证：

设无向连通图 $G=(V,E)$ 中有 $n$ 个顶点，$m$ 条边。则 $G$ 的所有顶点的度数之和为：

$$
\sum_{v\in V} \deg(v) = 2m
$$

其中 $\deg(v)$ 表示顶点 $v$ 的度数。

我们知道，每条边都会贡献 $2$ 到度数之和中，因为每条边连接了 $2$ 个顶点，每个顶点的度数都会加 $1$。因此，上式中的 $2m$ 就是所有顶点度数之和的总和。

而一个数能够被 $2$ 整除，当且仅当它的最低位为 $0$。因此，如果所有顶点的度数之和为偶数，那么它的二进制表示的最低位为 $0$，也就是说，每个顶点的度数都是偶数。

因为 $G$ 是一个无向图，所以每个顶点的度数就是它所连接的边数。如果所有顶点的度数都是偶数，那么每条边的两个端点的度数均为偶数。因此，每条边贡献 $2$ 到所有顶点度数之和中，也就是说，所有顶点度数之和为偶数。

综上所述，无向连通图所有顶点的度数之和为偶数。

对于一个具有n个顶点和e条边的无向图,若采用邻接表表示,则占用的存储空间为

### 回答1：
邻接表是一种表示图的数据结构，用于表示一个具有n个顶点和e条边的无向图。在邻接表中，每个顶点都有一个对应的链表，该链表包含与该顶点相邻的所有顶点。

对于一个具有n个顶点和e条边的无向图，若采用邻接表表示，则占用的存储空间为O(n+e)。具体而言，每个顶点需要占用一个指针和一个链表节点，因此占用的空间为O(n)，而每条边需要在两个顶点的链表中各占用一个节点，因此占用的空间为O(e)。因此，邻接表的总空间复杂度为O(n+e)。

### 回答2：
对于一个具有n个顶点和e条边的无向图，若采用邻接表表示，则占用的存储空间为O(n+e)。

邻接表表示无向图的存储方式是通过数组和链表结合的方式。具体来说，我们可以使用一个长度为n的数组，数组的每个元素都是一个链表。数组的下标表示图中的顶点，而链表则存储该顶点相邻的其他顶点。

在邻接表中，每个顶点需要占用一个空间，所以需要n个空间。而每条边需要在两个顶点的链表中都存储一次，因此需要占用2e个空间。

综上所述，对于一个具有n个顶点和e条边的无向图，采用邻接表表示时，占用的存储空间为O(n+e)。

### 回答3：
对于一个具有n个顶点和e条边的无向图，若采用邻接表表示，则占用的存储空间为O(n + e)。

邻接表是一种常见的无向图的存储方式。其基本思想是将图中每个顶点都对应一个链表，链表中存储的是与该顶点相邻的顶点。在邻接表中，每个顶点所对应的链表的长度就是其度数。

首先，对于图中的n个顶点，需要n个链表来表示它们的相邻顶点，因此需要占用n个空间。

其次，对于图中的每条边，需要在对应的两个顶点的链表中分别插入一个节点，表示它们之间的边。因此，需要2e个空间。

综上所述，采用邻接表表示一个具有n个顶点和e条边的无向图，需要占用的存储空间为O(n + e)。