在一个具有n个顶点的有向图中,若所有顶点的出度数之和为s,则所有顶点的入度数之和

首先，我们知道在一个有向图中，每条边都有一个方向，顶点的出度表示以该顶点为起点的边的数量，入度表示以该顶点为终点的边的数量。

假设有一个具有n个顶点的有向图，我们需要证明所有顶点的入度数之和也为s。

首先我们知道，每个顶点的出度数之和为s，也就是说所有顶点的出度数之和为s。

那么对于每条边来说，它都会有一个起点和一个终点，因此计算所有边的起点的出度之和也等于所有边的终点的入度之和。

也就是说所有顶点的入度数之和也为s。

可以用归纳法进行证明：
对于只有一个顶点的情况，显然入度和出度相等，都为0，所以结论成立。
对于有n个顶点的情况，假设结论对n-1个顶点成立，即所有顶点的入度数之和等于出度数之和。
那么在有n个顶点的情况下，只需要添加一个顶点，并且与所有其他顶点形成边，则新添加的顶点的入度数为n-1，出度数为1，其他n-1个顶点的入度数之和为s，那么总的入度数之和为s+n-1等于总的出度数之和s。

因此，所有顶点的入度数之和也为s。

所以在一个具有n个顶点的有向图中，若所有顶点的出度数之和为s，则所有顶点的入度数之和也为s。

相关问题

1) 分析并回答下列问题 图中顶点的度之和与边数之和的关系? 有向图中顶点的入度之和与出度之和的关系?具有n个顶点的无向图，至少应有多少条边才能确保是个连通图?若采用邻接矩阵表示，则该矩阵的大小是多 少? G具有n个顶点的有向图，至少应有多少条弧才能确保是强连通图的?为什么?

1. 图中顶点的度之和与边数之和的关系为：顶点的度之和等于边数之和的两倍，即∑deg(v) = 2|E|。这是因为每条边都会贡献两个度数，一个度数给与边相连的起点，另一个度数给与边相连的终点。

2. 对于有向图，顶点的入度之和等于出度之和，即∑indeg(v) = ∑outdeg(v)。这是因为每条弧都会贡献一个入度和一个出度，一个入度给与弧指向该顶点的终点，一个出度给与弧起点所在的顶点。

3. 至少应有n-1条边才能确保是个连通图。这是因为n个顶点的无向图的最小边数为n-1条，当且仅当图为树时达到最小值。如果图不是树，那么再添加边就会形成环，即会出现多余的边。因此，至少需要n-1条边才能保证图的连通性。

4. 如果采用邻接矩阵表示，则该矩阵的大小为n*n。因为邻接矩阵是一个n*n的矩阵，其中第i行第j列的元素表示顶点i和顶点j是否相邻，因此需要n行n列的矩阵来表示。

5. 对于有向图，至少应有n条弧才能确保是强连通图。这是因为强连通图是指从任意一个顶点出发都可以到达图中的任意一个顶点，因此每个顶点都需要至少一条出弧和一条入弧。因此，每个顶点至少需要2条弧，所以n个顶点的有向图至少需要n条弧。

有向图顶点的度数计算

### 有向图中顶点的入度和出度计算

在有向图中，每个顶点有两个重要的属性：入度 (in-degree) 和出度 (out-degree)。对于给定的一个有向图 G=(V,E)，其中 V 是顶点集合而 E 是边集：

- **入度**是指指向某个特定顶点 v 的边的数量；
- **出度**是从某一个特定顶点出发到达其他顶点的边数量。

为了有效地计算这些值，在构建好有向图的数据结构之后（通常是通过邻接表或邻接矩阵），可以遍历整个图形来统计各个节点的相关信息[^2]。

当采用邻接表作为存储方式时，可以通过如下算法实现对所有顶点出入度的同时记录:

void calculateDegree(vector<vector<int>>& graph, vector<int>& inDegree, vector<int>& outDegree){
    int n = graph.size();
    inDegree.resize(n);
    outDegree.resize(n);

    for(int i=0; i<n; ++i){ // 遍历每一个结点及其相连的边
        for(auto& neighbor : graph[i]){
            ++inDegree[neighbor]; // 对于每条从当前结点发出到另一个结点 u 的边，增加u的入度计数器
        }
        outDegree[i]=graph[i].size(); // 当前结点所连接出去的边数目即为其自身的出度
    }
}

上述函数接收三个参数：`graph` 表示以邻接列表形式表示的有向图；两个整型数组 `inDegree[]` 和 `outDegree[]` 分别用于保存对应位置上顶点的入度与出度结果。此过程会更新这两个数组中的数据以便后续查询使用[^1]。

如果选择了邻接矩阵的方式来表达这个关系，则可以直接利用其特性快速获取任意两点间是否存在路径的信息，并据此调整相应顶点的度量指标。例如，假设我们有一个布尔类型的二维数组 adjMatrix 来描述这种关联性，那么就可以按照下面的方式来进行操作[^3]:

for(int row = 0;row < numVertices;++row){
    for(int col = 0;col < numVertices;++col){
        if(adjMatrix[row][col]==true){
           ++outDegree[row];
           ++inDegree[col];
        }
     }
}

这段代码同样实现了相同的功能——它迭代访问了所有的可能组合并依据实际存在的链接情况修改对应的入/出度变量。